9.1 Ορθές προβολές

Μάθημα 9.1 Ορθές προβολές της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Μετρικές σχέσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ορθές προβολές

Προβολή πλευράς

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = ΒΓ = 6, β = ΑΓ = 13, γ = ΑΒ = 8. Να βρείτε το αλγεβρικό μήκος της προβολής της ΑΒ πάνω στη ΒΓ (θετικό αν η Β είναι οξεία, αρνητικό αν είναι αμβλεία).

Υποδείξεις

β² = α² + γ² − 2α·προβ_αγ.
προβ = α² + γ² − β²2α.

Λύση και απάντηση

προβ = (36 + 64 − 169)/12 = −234.

Απάντηση: −234

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Προβολή πλευράς.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η ορθή προβολή ενός σημείου σε μια ευθεία είναι:
- οποιοδήποτε σημείο της ευθείας
- το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία
- το μέσο του τμήματος
- το σημείο τομής με μια παράλληλη
Δες την απάντηση
Σωστό: το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία. Φέρνουμε κάθετη από το σημείο προς την ευθεία.
Η προβολή ενός τμήματος κάθετου σε μια ευθεία είναι:
- ένα σημείο
- ίση με το τμήμα
- διπλάσια από το τμήμα
- μια ημιευθεία
Δες την απάντηση
Σωστό: ένα σημείο. Και τα δύο άκρα προβάλλονται στο ίδιο σημείο.
Η προβολή ενός τμήματος παράλληλου σε μια ευθεία είναι:
- ένα σημείο
- ίση με το τμήμα
- μεγαλύτερη από το τμήμα
- μικρότερη από το τμήμα
Δες την απάντηση
Σωστό: ίση με το τμήμα. Σχηματίζεται ορθογώνιο.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με ύψος ΑΔ, η προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ είναι το:
- ΑΔ
- ΒΓ
- ΒΔ
- ΔΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΒΔ. Το Α προβάλλεται στο Δ και το Β στον εαυτό του.
Το μήκος της προβολής ενός τμήματος ΑΒ σε ευθεία είναι:
- μικρότερο ή ίσο του ΑΒ
- οτιδήποτε
- πάντα ίσο με το ΑΒ
- πάντα μεγαλύτερο του ΑΒ
Δες την απάντηση
Σωστό: μικρότερο ή ίσο του ΑΒ. Η προβολή είναι κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το ΑΒ (ή ίση με αυτό).
Τμήμα μήκους 10 σχηματίζει γωνία 60° με μια ευθεία. Η προβολή του είναι:
- 10
- 20
- 5
- 5√3
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. 10·συν60° = 5.
Τμήμα μήκους 4 σχηματίζει γωνία 45° με μια ευθεία. Η προβολή του είναι:
- 2
- 2√2
- 4
- 4√2
Δες την απάντηση
Σωστό: 2√2. 4·συν45° = 4·(√2/2) = 2√2.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με ύψος ΑΔ, η προβολή της ΑΓ πάνω στη ΒΓ είναι το:
- ΑΒ
- ΑΔ
- ΒΔ
- ΔΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΔΓ. Το Α προβάλλεται στο Δ και το Γ στον εαυτό του.
Αν ένα τμήμα είναι ίσο με την προβολή του σε μια ευθεία, τότε το τμήμα είναι:
- κάθετο στην ευθεία
- παράλληλο στην ευθεία (ή πάνω σε αυτή)
- σε γωνία 45°
- σε γωνία 60°
Δες την απάντηση
Σωστό: παράλληλο στην ευθεία (ή πάνω σε αυτή). Μόνο τότε δεν «μικραίνει».
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με ύψος ΑΔ ισχύει ΒΔ + ΔΓ =
- ΑΒ
- ΑΓ
- ΑΔ
- ΒΓ
Δες την απάντηση
Σωστό: ΒΓ. Το Δ βρίσκεται πάνω στην υποτείνουσα ΒΓ.

Σωστό ή Λάθος

Η προβολή ενός τμήματος σε ευθεία είναι πάντα μικρότερη από το τμήμα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι μικρότερη ή ίση. Ίση όταν το τμήμα είναι παράλληλο στην ευθεία.
Η προβολή ενός τμήματος κάθετου σε μια ευθεία, πάνω στην ευθεία, είναι σημείο.
Δες την απάντηση
Σωστό. Τα άκρα του έχουν την ίδια προβολή.
Η προβολή του ορθόκεντρου ενός τριγώνου στις πλευρές του είναι τα μέσα των πλευρών.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι τα ίχνη των υψών.
Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η προβολή μιας κάθετης πλευράς πάνω στην υποτείνουσα είναι μικρότερη από την κάθετη πλευρά.
Δες την απάντηση
Σωστό. Το ΒΔ είναι κάθετη πλευρά στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.