MathGreeceMathGreece

12.5 Γωνία δύο ευθειών – Ευθεία κάθετη σε επίπεδο

Μάθημα 12.5 Γωνία δύο ευθειών – Ευθεία κάθετη σε επίπεδο της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ευθείες και επίπεδα στον χώρο». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Γωνία δύο ευθειών – Ευθεία κάθετη σε επίπεδο

Γωνίες σε κύβο

Στον κύβο ΑΒΓΔΑ′Β′Γ′Δ′ (η Α′ πάνω από την Α κ.λπ.), πόση γωνία σχηματίζουν η ακμή ΑΑ′ και η διαγώνιος ΑΓ της βάσης;
Υποδείξεις
  • Η γωνία δύο ασύμβατων ευθειών ορίζεται μεταφέροντας τη μία παράλληλα ώστε να τέμνει την άλλη.
  • Οι διαγώνιοι των εδρών έχουν όλες ίσο μήκος α√2.
Λύση και απάντηση
  1. Γωνία: 90°.

Απάντηση: 90 °

Κάθετη σε επίπεδο: απόσταση

Η ευθεία ΡΑ είναι κάθετη στο επίπεδο π στο Α, με ΡΑ = 20. Το σημείο Β του π απέχει από το Α απόσταση 21. Να βρείτε το ΡΒ.
Υποδείξεις
  • ΡΑ ⊥ π ⇒ ΡΑ ⊥ ΑΒ (κάθε ευθεία του π που περνά από το Α).
  • Πυθαγόρειο στο ΡΑΒ.
Λύση και απάντηση
  1. ΡΒ = √(400 + 441) = 29.

Απάντηση: 29

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Γωνίες σε κύβο · Κάθετη σε επίπεδο: απόσταση.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η γωνία δύο ασύμβατων ευθειών ορίζεται ως:

    • 0° πάντα
    • 90° πάντα
    • δεν ορίζεται
    • η γωνία δύο τεμνόμενων ευθειών παράλληλων προς αυτές
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η γωνία δύο τεμνόμενων ευθειών παράλληλων προς αυτές. Μεταφέρουμε τη μία παράλληλα ώστε να τέμνει την άλλη.

  2. Μια ευθεία κάθετη σε ένα επίπεδο είναι:

    • ασύμβατη με κάθε ευθεία του
    • κάθετη μόνο σε μία ευθεία του
    • κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου
    • παράλληλη σε κάθε ευθεία του
    Δες την απάντηση

    Σωστό: κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου. Ορισμός καθετότητας ευθείας–επιπέδου.

  3. Για να είναι μια ευθεία κάθετη σε ένα επίπεδο, αρκεί να είναι κάθετη:

    • σε δύο παράλληλες ευθείες του επιπέδου
    • σε δύο τεμνόμενες ευθείες του επιπέδου
    • σε καμία ευθεία
    • σε μία ευθεία του επιπέδου
    Δες την απάντηση

    Σωστό: σε δύο τεμνόμενες ευθείες του επιπέδου. Κριτήριο καθετότητας.

  4. Από ένα σημείο, πόσες ευθείες κάθετες σε δοσμένο επίπεδο υπάρχουν;

    • άπειρες
    • δύο
    • καμία
    • μία
    Δες την απάντηση

    Σωστό: μία. Η κάθετη είναι μοναδική.

  5. Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι:

    • ασύμβατες
    • κάθετες
    • παράλληλες
    • τεμνόμενες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: παράλληλες. Βασική ιδιότητα.

  6. Δύο επίπεδα κάθετα στην ίδια ευθεία είναι:

    • κάθετα
    • παράλληλα
    • ταυτίζονται πάντα
    • τεμνόμενα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: παράλληλα. Βασική ιδιότητα.

  7. Το θεώρημα των τριών καθέτων συνδέει:

    • μια κάθετη σε επίπεδο, μια ευθεία του επιπέδου και την κάθετη από το ίχνος σε αυτή
    • τρία παράλληλα επίπεδα
    • τρεις ακμές του κύβου
    • τρεις παράλληλες ευθείες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: μια κάθετη σε επίπεδο, μια ευθεία του επιπέδου και την κάθετη από το ίχνος σε αυτή. Χρησιμοποιείται για απόσταση σημείου από ευθεία στον χώρο.

  8. Δύο ασύμβατες ευθείες λέγονται ορθογώνιες όταν:

    • είναι παράλληλες
    • σχηματίζουν γωνία 45°
    • σχηματίζουν γωνία 90°
    • τέμνονται κάθετα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: σχηματίζουν γωνία 90°. Η γωνία τους (μέσω παραλλήλων) είναι ορθή.

  9. Σε έναν κύβο, δύο ακμές που δεν τέμνονται και δεν είναι παράλληλες είναι:

    • ασύμβατες και ορθογώνιες
    • ασύμβατες με γωνία 45°
    • παράλληλες
    • τεμνόμενες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ασύμβατες και ορθογώνιες. Οι ακμές του κύβου έχουν μόνο τρεις κάθετες διευθύνσεις.

  10. Σε κύβο, η γωνία μιας ακμής με τη διαγώνιο μιας έδρας που ξεκινά από την ίδια κορυφή, στην ίδια έδρα, είναι:

    • 30°
    • 45°
    • 60°
    • 90°
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 45°. Η διαγώνιος τετραγώνου διχοτομεί τη γωνία του.

Σωστό ή Λάθος

  1. Δύο ασύμβατες ευθείες δεν σχηματίζουν γωνία.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η γωνία τους ορίζεται με παράλληλες από ένα σημείο.

  2. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε δύο τεμνόμενες ευθείες ενός επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Κριτήριο καθετότητας.

  3. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία ευθεία ενός επιπέδου, είναι κάθετη στο επίπεδο.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Χρειάζονται δύο τεμνόμενες ευθείες.

  4. Δύο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο είναι παράλληλες.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Γνωστό θεώρημα.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Ευθείες και επίπεδα στον χώρο»