MathGreeceMathGreece

12.6 Απόσταση σημείου από επίπεδο – Απόσταση παράλληλων επιπέδων

Μάθημα 12.6 Απόσταση σημείου από επίπεδο – Απόσταση παράλληλων επιπέδων της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ευθείες και επίπεδα στον χώρο». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Απόσταση σημείου από επίπεδο – Απόσταση παράλληλων επιπέδων

Απόσταση από επίπεδο

Από σημείο Ρ φέρνουμε πλάγιο τμήμα ΡΒ = 25 προς το επίπεδο π, του οποίου η προβολή στο π έχει μήκος 24. Πόση είναι η απόσταση του Ρ από το π;
Υποδείξεις
  • Η απόσταση, η προβολή και το πλάγιο τμήμα σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.
Λύση και απάντηση
  1. d = √(625 − 576) = 7.

Απάντηση: 7

Απόσταση παράλληλων επιπέδων

Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει διαστάσεις 5 × 5 × 6 (ύψος 6). Πόση είναι η απόσταση του επιπέδου της κάτω βάσης από το επίπεδο της πάνω βάσης, και πόση η απόσταση της κορυφής Α′ από το επίπεδο της κάτω βάσης;
Υποδείξεις
  • Η απόσταση δύο παράλληλων επιπέδων είναι η απόσταση οποιουδήποτε σημείου του ενός από το άλλο.
Λύση και απάντηση
  1. Και οι δύο αποστάσεις ισούνται με το ύψος 6.

Απάντηση: επιπέδων = 6  ·  κορυφής = 6

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Απόσταση από επίπεδο · Απόσταση παράλληλων επιπέδων.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Απόσταση σημείου από επίπεδο λέγεται:

    • η απόσταση από την αρχή των αξόνων
    • το εμβαδόν της προβολής
    • το μήκος οποιουδήποτε πλάγιου τμήματος
    • το μήκος του κάθετου τμήματος από το σημείο προς το επίπεδο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: το μήκος του κάθετου τμήματος από το σημείο προς το επίπεδο. Ορισμός.

  2. Το κάθετο τμήμα από σημείο προς επίπεδο, σε σύγκριση με κάθε πλάγιο τμήμα από το ίδιο σημείο, είναι:

    • ίσο
    • διπλάσιο
    • μεγαλύτερο
    • μικρότερο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: μικρότερο. Είναι κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το πλάγιο.

  3. Η απόσταση δύο παράλληλων επιπέδων είναι:

    • δεν ορίζεται
    • η απόσταση οποιουδήποτε σημείου του ενός από το άλλο
    • πάντα μηδέν
    • το άθροισμα των αποστάσεών τους από την αρχή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η απόσταση οποιουδήποτε σημείου του ενός από το άλλο. Όλα τα σημεία του ενός ισαπέχουν από το άλλο.

  4. Σε κύβο με ακμή 3, η απόσταση δύο απέναντι εδρών είναι:

    • 3
    • 3√2
    • 3√3
    • 6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3. Είναι μια ακμή κάθετη στις δύο έδρες.

  5. Από σημείο Ρ φέρνουμε πλάγιο τμήμα ΡΑ = 5 προς επίπεδο, με απόσταση του Ρ από το επίπεδο ΡΟ = 3. Η προβολή ΟΑ είναι:

    • 2
    • 4
    • 8
    • √34
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. ΟΑ² = 25 − 9 = 16.

  6. Αν μια ευθεία είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο, τότε τα σημεία της:

    • έχουν διαφορετικές αποστάσεις
    • έχουν όλα απόσταση μηδέν
    • δεν έχουν απόσταση
    • ισαπέχουν από το επίπεδο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ισαπέχουν από το επίπεδο. Η απόσταση αυτή λέγεται απόσταση ευθείας από επίπεδο.

  7. Σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο 2 × 3 × 4, η απόσταση των δύο απέναντι εδρών με διαστάσεις 2 × 3 είναι:

    • 2
    • 3
    • 4
    • 5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. Είναι η τρίτη διάσταση.

  8. Αν ένα σημείο ανήκει σε ένα επίπεδο, η απόστασή του από αυτό είναι:

    • 0
    • 1
    • άπειρη
    • δεν ορίζεται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Το σημείο ταυτίζεται με την προβολή του.

  9. Πλάγια τμήματα με ίσα μήκη από το ίδιο σημείο προς ένα επίπεδο έχουν:

    • άνισες προβολές
    • ίσες προβολές
    • μηδενικές προβολές
    • προβολές με λόγο 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ίσες προβολές. Ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κοινή κάθετη πλευρά.

  10. Ένα σημείο απέχει 6 από ένα επίπεδο και ένα πλάγιο τμήμα από αυτό έχει μήκος 10. Η προβολή του πλάγιου είναι:

    • 16
    • 4
    • 8
    • √136
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 8. √(100 − 36) = 8.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η απόσταση σημείου από επίπεδο είναι το μήκος οποιουδήποτε πλάγιου τμήματος.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι το μήκος του κάθετου τμήματος, που είναι και το ελάχιστο.

  2. Η απόσταση δύο παράλληλων επιπέδων είναι η ίδια από οποιοδήποτε σημείο του ενός.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Ορισμός απόστασης παράλληλων επιπέδων.

  3. Όλα τα πλάγια τμήματα από ένα σημείο προς ένα επίπεδο είναι ίσα.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν ίσες προβολές.

  4. Το κάθετο τμήμα από σημείο προς επίπεδο είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Πυθαγόρειο.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γεωμετρία Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Ευθείες και επίπεδα στον χώρο»