2.3 Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού

Μάθημα 2.3 Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, στην ενότητα «Εξισώσεις – Ανισώσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού

Ορθογώνιο από εμβαδόν και περίμετρο

Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 42 m και εμβαδόν 108 m². Να βρείτε τις διαστάσεις του.

Υποδείξεις

Αν x το μήκος, το πλάτος είναι 21 − x.
x(21 − x) = 108.

Λύση και απάντηση

x² − 21x + 108 = 0 ⇒ x = 12 ή x = 9.
Διαστάσεις: 12 m × 9 m.

Απάντηση: μήκος = 12 · πλάτος = 9

Διαδοχικοί αριθμοί

Το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων είναι 420. Ποιοι είναι;

Υποδείξεις

x(x + 1) = 420.

Λύση και απάντηση

x² + x − 420 = 0 ⇒ x = 20 (η αρνητική λύση απορρίπτεται).

Απάντηση: μικρότερος = 20 · μεγαλύτερος = 21

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ορθογώνιο από εμβαδόν και περίμετρο · Διαδοχικοί αριθμοί.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι 56. Ποιοι μπορεί να είναι;
- 6 και 9
- 7 και 8
- 8 και 9
- −7 και 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 7 και 8. x(x + 1) = 56 ⇒ x = 7.
Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 48 τ.μ. και μήκος κατά 2 μ. μεγαλύτερο του πλάτους. Το πλάτος είναι:
- 10 μ.
- 4 μ.
- 6 μ.
- 8 μ.
Δες την απάντηση
Σωστό: 6 μ.. x(x + 2) = 48 ⇒ x = 6.
Ποια εξίσωση αντιστοιχεί στο «το τετράγωνο ενός αριθμού αυξημένο κατά τον αριθμό ισούται με 12»;
- 2x = 12
- x + x = 12
- x² + x = 12
- x² = 12
Δες την απάντηση
Σωστό: x² + x = 12. Το τετράγωνο είναι x².
Τετράγωνο έχει εμβαδόν 49 τ.εκ. Η πλευρά του είναι:
- 14 εκ.
- 24,5 εκ.
- 7 εκ.
- −7 εκ.
Δες την απάντηση
Σωστό: 7 εκ.. x² = 49 και x > 0.
Αν η εξίσωση του προβλήματος δίνει x = −3 ή x = 5 και x είναι μήκος, δεκτή λύση είναι:
- x = 5
- x = −3
- και οι δύο
- καμία
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 5. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 10 και γινόμενο 21. Είναι:
- 2 και 8
- 3 και 7
- 4 και 6
- 5 και 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 3 και 7. 3 + 7 = 10 και 3 · 7 = 21.
Η υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου είναι 10 και η μία κάθετη 6. Η άλλη είναι:
- 16
- 4
- 8
- √136
Δες την απάντηση
Σωστό: 8. Από το Πυθαγόρειο: 100 − 36 = 64.
Η περίμετρος ορθογωνίου είναι 20 και το εμβαδόν 21. Οι πλευρές είναι:
- 2 και 8
- 3 και 7
- 4 και 6
- 5 και 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 3 και 7. α + β = 10 και αβ = 21.
Ένας αριθμός ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου του. Ο αριθμός μπορεί να είναι:
- 0 ή 12
- 0 μόνο
- 1
- 2
Δες την απάντηση
Σωστό: 0 ή 12. x = 2x² ⇒ x(2x − 1) = 0.
Στα προβλήματα που οδηγούν σε εξίσωση 2ου βαθμού, πρέπει πάντα:
- Να αγνοούμε το πρόβλημα
- Να ελέγχουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές
- Να κρατάμε μόνο τη μεγαλύτερη
- Να κρατάμε τη μικρότερη
Δες την απάντηση
Σωστό: Να ελέγχουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές. Κάθε λύση ελέγχεται με τους περιορισμούς του προβλήματος.

Σωστό ή Λάθος

Σε πρόβλημα, κάθε λύση της εξίσωσης είναι δεκτή.
Δες την απάντηση
Λάθος. Πρέπει να ελέγχουμε αν έχει νόημα (π.χ. μήκος θετικό).
Αν ένας αριθμός και το τετράγωνό του έχουν άθροισμα 12, ο αριθμός είναι 3 ή −4.
Δες την απάντηση
Σωστό. x² + x − 12 = 0.
Αν το εμβαδόν τετραγώνου είναι 49, η πλευρά του είναι ±7.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η πλευρά είναι θετική: 7.
Δύο διαδοχικοί φυσικοί με γινόμενο 56 είναι οι 7 και 8.
Δες την απάντηση
Σωστό. x(x + 1) = 56.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου στο YouTube.