1.1α Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα

Μάθημα 1.1α Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα

Ακέραιοι στο πεδίο ορισμού

Πόσοι ακέραιοι ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f(x) = √(x + 4)x + 3 + ln(4 − x);

Υποδείξεις

Τρεις περιορισμοί: x + 4 ≥ 0, x + 3 ≠ 0, 4 − x > 0.
A = [−4, 4) χωρίς το −3.

Λύση και απάντηση

x ≥ −4, x < 4, x ≠ −3.
Ακέραιοι από −4 έως 3: 8, εξαιρείται ο −3.
Άρα 7 ακέραιοι.

Απάντηση: 7

Ελάχιστο τριωνύμου

Να βρείτε τη θέση και την ελάχιστη τιμή της f(x) = x² + 4x + 6.

Υποδείξεις

Η κορυφή της παραβολής είναι στο x₀ = −β/(2α).
f(x₀) = −Δ/(4α).

Λύση και απάντηση

x₀ = −4/(2·1) = −2.
f(−2) = 2.
Αφού α = 1 > 0, είναι ελάχιστο.

Απάντηση: x₀ = −2 · f(x₀) = 2

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ακέραιοι στο πεδίο ορισμού · Ελάχιστο τριωνύμου · Σημεία τομής παραβολής και ευθείας · Σύνθεση κλάδων: f(f(κ)).

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Το πεδίο ορισμού της f(x) = √(x − 2) είναι:
- (2, +∞)
- (−∞, 2]
- [2, +∞)
- ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: [2, +∞). Πρέπει x − 2 ≥ 0.
Το πεδίο ορισμού της f(x) = 1/(x − 3) είναι:
- (3, +∞)
- ℝ
- ℝ − {0}
- ℝ − {3}
Δες την απάντηση
Σωστό: ℝ − {3}. Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται.
Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ στο Δ:
- f(x₁) < f(x₂)
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≤ 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) < f(x₂). Ορισμός.
Η f(x) = −2x + 5 είναι:
- άρτια
- γνησίως αύξουσα στο ℝ
- γνησίως φθίνουσα στο ℝ
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως φθίνουσα στο ℝ. Κλίση αρνητική.
Η f(x) = x² έχει ελάχιστο:
- 0 στο x = 0
- 1 στο x = 1
- δεν έχει ελάχιστο
- −1 στο x = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: 0 στο x = 0. x² ≥ 0 = f(0).
Η γραφική παράσταση της f(x) = x² + 3 προκύπτει από την y = x² με:
- κατακόρυφη μετατόπιση 3 κάτω
- κατακόρυφη μετατόπιση 3 μονάδες πάνω
- οριζόντια μετατόπιση 3 αριστερά
- οριζόντια μετατόπιση 3 δεξιά
Δες την απάντηση
Σωστό: κατακόρυφη μετατόπιση 3 μονάδες πάνω. Προσθέτουμε σταθερά στην τιμή.
Η γραφική παράσταση της f(x) = (x − 2)² προκύπτει από την y = x² με:
- κατακόρυφη μετατόπιση 2 κάτω
- κατακόρυφη μετατόπιση 2 πάνω
- οριζόντια μετατόπιση 2 αριστερά
- οριζόντια μετατόπιση 2 δεξιά
Δες την απάντηση
Σωστό: οριζόντια μετατόπιση 2 δεξιά. Το x αντικαθίσταται από x − 2.
Η f(x) = |x| έχει ελάχιστο:
- 0 στο x = 0
- 1 στο x = 1
- δεν έχει ελάχιστο
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 0 στο x = 0. |x| ≥ 0.
Αν f(x) = 3x − 1, τότε f(2) =
- 1
- 5
- 6
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. 3·2 − 1.
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει μια κατακόρυφη ευθεία:
- ποτέ
- σε άπειρα σημεία
- σε ένα το πολύ σημείο
- σε δύο σημεία πάντα
Δες την απάντηση
Σωστό: σε ένα το πολύ σημείο. Σε κάθε x αντιστοιχεί μία μόνο τιμή.

Σωστό ή Λάθος

Η f(x) = x² είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι φθίνουσα στο (−∞, 0] και αύξουσα στο [0, +∞).
Μια συνάρτηση μπορεί να έχει ολικό μέγιστο σε περισσότερα από ένα σημεία.
Δες την απάντηση
Σωστό. Π.χ. η ημx παίρνει την τιμή 1 σε άπειρα σημεία.
Η ευθεία x = 3 είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.
Δες την απάντηση
Λάθος. Στο x = 3 αντιστοιχούν άπειρα y.
Το πεδίο ορισμού της f(x) = √xx − 1 είναι το [0, 1) ∪ (1, +∞).
Δες την απάντηση
Σωστό. x ≥ 0 και x ≠ 1.
Αν f(1) < f(2), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δύο τιμές δεν αρκούν: πρέπει f(x₁) < f(x₂) για κάθε x₁ < x₂.
Η f(x) = |x| έχει ολικό ελάχιστο στο 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. |x| ≥ 0 = f(0).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.