MathGreeceMathGreece

1.4α Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου

Μάθημα 1.4α Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου

Τοπικό ελάχιστο

Να βρείτε τη θέση και την τιμή του τοπικού ελαχίστου της f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 1.
Υποδείξεις
  • f′(x) = 3x2 − 18x + 15.
  • Ελάχιστο εκεί όπου η f′ αλλάζει από − σε +.
Λύση και απάντηση
  1. f′(x) = 3(x − 1)(x − 5).
  2. f′ < 0 στο (1, 5), f′ > 0 για x > 5.
  3. Τοπικό ελάχιστο: f(5) = −24.

Απάντηση: x₀ = 5  ·  f(x₀) = −24

Μέγιστη τιμή σε κλειστό διάστημα

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f(x) = x3 − 3x + 1 στο διάστημα [−2, 3].
Υποδείξεις
  • Η μέγιστη τιμή σε κλειστό διάστημα είναι η μεγαλύτερη από: τιμές στα άκρα και στα κρίσιμα σημεία.
  • Κρίσιμα σημεία: ρίζες της f′(x) = 3x2 − 3.
Λύση και απάντηση
  1. Κρίσιμα σημεία: −1, 1.
  2. f(−2) = −1, f(−1) = 3, f(1) = −1, f(3) = 19.
  3. Μέγιστη τιμή: 19.

Απάντηση: 19

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Τοπικό ελάχιστο · Μέγιστη τιμή σε κλειστό διάστημα · Παράμετροι από ακρότατο.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Αν f′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ, η f είναι:

    • γνησίως αύξουσα στο Δ
    • γνησίως φθίνουσα στο Δ
    • μη συνεχής
    • σταθερή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: γνησίως αύξουσα στο Δ. Κριτήριο μονοτονίας.

  2. Αν f′(x) < 0 σε ένα διάστημα, η f σε αυτό είναι:

    • άρτια
    • γνησίως αύξουσα
    • γνησίως φθίνουσα
    • σταθερή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: γνησίως φθίνουσα. Κριτήριο μονοτονίας.

  3. Αν η f′ μηδενίζεται στο x₀ και αλλάζει πρόσημο από + σε −, η f έχει στο x₀:

    • κανένα ακρότατο
    • σημείο καμπής πάντα
    • τοπικό ελάχιστο
    • τοπικό μέγιστο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τοπικό μέγιστο. Ανεβαίνει και μετά κατεβαίνει.

  4. Αν η f′ αλλάζει πρόσημο από − σε + στο x₀, η f έχει:

    • ασυνέχεια
    • κανένα ακρότατο
    • τοπικό ελάχιστο
    • τοπικό μέγιστο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τοπικό ελάχιστο. Κατεβαίνει και μετά ανεβαίνει.

  5. Η f(x) = x² − 4x έχει ελάχιστο στο:

    • x = 0
    • x = 2
    • x = 4
    • x = −2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2. f′(x) = 2x − 4 = 0.

  6. Η ελάχιστη τιμή της f(x) = x² − 4x είναι:

    • 0
    • 4
    • −2
    • −4
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −4. f(2) = 4 − 8.

  7. Η f(x) = x³ στο x = 0:

    • έχει ελάχιστο
    • έχει μέγιστο
    • δεν έχει ακρότατο, αν και f′(0) = 0
    • δεν παραγωγίζεται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν έχει ακρότατο, αν και f′(0) = 0. Η f′ = 3x² δεν αλλάζει πρόσημο.

  8. Η f(x) = −x² + 6x έχει μέγιστη τιμή:

    • 3
    • 6
    • 9
    • −9
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 9. f′ = −2x + 6 = 0 στο x = 3, f(3) = 9.

  9. Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων (εσωτερικά σημεία) είναι εκεί όπου:

    • f(x) = 0
    • f(x) > 0
    • η f είναι σταθερή
    • η f′ μηδενίζεται ή δεν ορίζεται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η f′ μηδενίζεται ή δεν ορίζεται. Κρίσιμα σημεία.

  10. Η f(x) = e^x είναι:

    • έχει ελάχιστο
    • γνησίως αύξουσα στο ℝ
    • γνησίως φθίνουσα
    • σταθερή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: γνησίως αύξουσα στο ℝ. f′(x) = e^x > 0.

Σωστό ή Λάθος

  1. Αν f′(x0) = 0, η f έχει τοπικό ακρότατο στο x0.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η x3 έχει f′(0) = 0 χωρίς ακρότατο.

  2. Αν f′(x) > 0 σε ένα διάστημα, η f είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Κριτήριο μονοτονίας.

  3. Αν η f′ αλλάζει πρόσημο από − σε + στο x0, εκεί έχουμε τοπικό μέγιστο.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η f κατεβαίνει και μετά ανεβαίνει: είναι τοπικό ελάχιστο.

  4. Η f(x) = x3 − 3x έχει τοπικό μέγιστο στο x = −1.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. f′(x) = 3(x − 1)(x + 1), και η f′ αλλάζει από + σε − στο −1.

  5. Ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα και η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Τοπικό ≠ ολικό.

  6. Η f(x) = x3 είναι γνησίως αύξουσα, παρόλο που f′(0) = 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Η f′ μηδενίζεται σε ένα μόνο σημείο και είναι θετική παντού αλλού.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Διαφορικός λογισμός»