1.2 Η έννοια της παραγώγου

Μάθημα 1.2 Η έννοια της παραγώγου της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η έννοια της παραγώγου

Παράγωγος από τον ορισμό

Με τον ορισμό της παραγώγου, να βρείτε το f′(2) για την f(x) = −x² − 6x.

Υποδείξεις

f′(2) = lim_h→0 f(2 + h) − f(2)h.
Ανάπτυξε το f(2 + h) και απλοποίησε το h.

Λύση και απάντηση

f(2 + h) − f(2) = −1h² − 10h.
Διαιρούμε με h: −1h − 10 → −10.

Απάντηση: −10

Εξίσωση εφαπτομένης

Να βρείτε την εφαπτομένη y = λx + β της f(x) = −x³ + 2x στο σημείο με τετμημένη x₀ = −2.

Υποδείξεις

λ = f′(x₀).
y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).

Λύση και απάντηση

f′(x) = −3x² + 2, λ = f′(−2) = −10.
f(−2) = 4.
β = f(x₀) − λx₀ = −16.

Απάντηση: λ = −10 · β = −16

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παράγωγος από τον ορισμό · Εξίσωση εφαπτομένης · Ταχύτητα κινητού.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η παράγωγος της f στο x₀ ορίζεται ως:
- f(x₀ + 1) − f(x₀)
- f(x₀)/x₀
- lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h
- lim(h→0) f(h)
Δες την απάντηση
Σωστό: lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. Όριο του λόγου μεταβολής.
Γεωμετρικά, η f′(x₀) είναι:
- η απόσταση από την αρχή
- η τεταγμένη του σημείου
- ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο (x₀, f(x₀))
- το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη
Δες την απάντηση
Σωστό: ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο (x₀, f(x₀)). Κλίση εφαπτομένης.
Η εφαπτομένη της Cf στο (x₀, f(x₀)) έχει εξίσωση:
- y = f(x₀)x
- y = f′(x₀)
- y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)
- y − x₀ = f(x₀)(x − f′(x₀))
Δες την απάντηση
Σωστό: y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀). Σημείο και κλίση.
Αν s(t) είναι η θέση ενός κινητού, τότε η s′(t) είναι:
- η απόσταση
- η επιτάχυνση
- η στιγμιαία ταχύτητα
- ο χρόνος
Δες την απάντηση
Σωστό: η στιγμιαία ταχύτητα. Ρυθμός μεταβολής της θέσης.
Αν f(x) = x², τότε f′(3) =
- 2
- 3
- 6
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. f′(x) = 2x.
Αν f′(x₀) = 0, η εφαπτομένη στο x₀ είναι:
- δεν υπάρχει
- η y = x
- κατακόρυφη
- οριζόντια
Δες την απάντηση
Σωστό: οριζόντια. Κλίση 0.
Η εφαπτομένη της y = x² στο (1, 1) είναι:
- y = 2x + 1
- y = 2x − 1
- y = x
- y = x²
Δες την απάντηση
Σωστό: y = 2x − 1. Κλίση 2: y − 1 = 2(x − 1).
Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο x₀, τότε είναι:
- ασυνεχής στο x₀
- αύξουσα
- σταθερή
- συνεχής στο x₀
Δες την απάντηση
Σωστό: συνεχής στο x₀. Παραγωγισιμότητα ⇒ συνέχεια.
Η f(x) = |x| στο x₀ = 0 είναι:
- ασυνεχής
- δεν ορίζεται
- παραγωγίσιμη
- συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη
Δες την απάντηση
Σωστό: συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη. Γωνιακό σημείο.
Ο μέσος ρυθμός μεταβολής της f στο [α, β] είναι:
- (f(β) + f(α))/2
- (f(β) − f(α))/(β − α)
- f(β) − f(α)
- f′(α)
Δες την απάντηση
Σωστό: (f(β) − f(α))/(β − α). Κλίση της χορδής.

Σωστό ή Λάθος

Η παράγωγος f′(x₀) είναι ίση με την τιμή f(x₀).
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι ο ρυθμός μεταβολής, δηλαδή η κλίση της εφαπτομένης, όχι η τιμή της συνάρτησης.
Η f′(x₀) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C_f στο σημείο (x₀, f(x₀)).
Δες την απάντηση
Σωστό. Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου.
Η f(x) = |x| είναι παραγωγίσιμη στο 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η κλίση αλλάζει απότομα από −1 σε 1.
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀, τότε είναι και συνεχής εκεί.
Δες την απάντηση
Σωστό. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
Αν η εφαπτομένη στο x₀ είναι οριζόντια, τότε f(x₀) = 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Τότε f′(x₀) = 0. Η τιμή f(x₀) μπορεί να είναι οποιαδήποτε.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.