1.3β Σύνθετες συναρτήσεις – Δεύτερη παράγωγος – Ρυθμός μεταβολής

Μάθημα 1.3β Σύνθετες συναρτήσεις – Δεύτερη παράγωγος – Ρυθμός μεταβολής της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Σύνθετες συναρτήσεις – Δεύτερη παράγωγος – Ρυθμός μεταβολής

Παράγωγος δύναμης (αλυσίδα)

Να βρείτε το f′(0) για την f(x) = (2x + 4)³.

Υποδείξεις

(u^ν)′ = ν·u^ν−1·u′.
u′ = 2.

Λύση και απάντηση

f′(x) = 3(2x + 4)²·2.
f′(0) = 3·4²·2 = 96.

Απάντηση: 96

Ρίζα σύνθετης συνάρτησης

Να βρείτε το f′(9) για την f(x) = √(x² + 144).

Υποδείξεις

(√u)′ = u′2√u.
√(81 + 144) = 15.

Λύση και απάντηση

f′(x) = 2x2√(x² + 144) = x√(x² + 144).
f′(9) = 35.

Απάντηση: 35

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παράγωγος δύναμης (αλυσίδα) · Ρίζα σύνθετης συνάρτησης · Δεύτερη παράγωγος · Οριακό κόστος.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η παράγωγος της σύνθετης f(g(x)) είναι:
- f(g′(x))
- f′(g(x))·g′(x)
- f′(g′(x))
- f′(x)·g′(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: f′(g(x))·g′(x). Κανόνας της αλυσίδας.
Η παράγωγος της (2x + 1)³ είναι:
- (2x + 1)²
- 3(2x + 1)²
- 6(2x + 1)²
- 6(2x + 1)³
Δες την απάντηση
Σωστό: 6(2x + 1)². 3(2x + 1)²·2.
Η παράγωγος της ημ(3x) είναι:
- 3ημ(3x)
- 3συν(3x)
- συν(3x)
- −3συν(3x)
Δες την απάντηση
Σωστό: 3συν(3x). Αλυσίδα: εσωτερική παράγωγος 3.
Η παράγωγος της e^(2x) είναι:
- 2e^(2x)
- 2xe^(2x)
- e^(2x)
- e^2
Δες την απάντηση
Σωστό: 2e^(2x). Εσωτερική παράγωγος 2.
Η παράγωγος της ln(x² + 1) είναι:
- 1/(x² + 1)
- 2x
- 2x/(x² + 1)
- ln(2x)
Δες την απάντηση
Σωστό: 2x/(x² + 1). (x² + 1)′/(x² + 1).
Η δεύτερη παράγωγος της f(x) = x³ είναι:
- 3x²
- 6
- 6x
- x
Δες την απάντηση
Σωστό: 6x. f′ = 3x², f″ = 6x.
Αν s(t) είναι η θέση κινητού, η s″(t) είναι:
- η απόσταση
- η επιτάχυνση
- η θέση
- η ταχύτητα
Δες την απάντηση
Σωστό: η επιτάχυνση. Παράγωγος της ταχύτητας.
Αν s(t) = t² + 3t, η ταχύτητα τη στιγμή t = 2 είναι:
- 10
- 4
- 5
- 7
Δες την απάντηση
Σωστό: 7. s′(t) = 2t + 3.
Η παράγωγος της √(x² + 9) είναι:
- 1/(2√(x² + 9))
- 2x√(x² + 9)
- x/(x² + 9)
- x/√(x² + 9)
Δες την απάντηση
Σωστό: x/√(x² + 9). 2x/(2√(x² + 9)).
Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε = x² ενός τετραγώνου ως προς την πλευρά x, όταν x = 5, είναι:
- 10
- 2
- 25
- 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 10. Ε′ = 2x.

Σωστό ή Λάθος

(ημ2x)′ = συν2x.
Δες την απάντηση
Λάθος. Λείπει ο παράγοντας 2: (ημ2x)′ = 2συν2x.
((x² + 1)³)′ = 6x(x² + 1)².
Δες την απάντηση
Σωστό. 3(x² + 1)² · 2x.
Αν f(x) = x³, τότε f″(x) = 3x².
Δες την απάντηση
Λάθος. f′(x) = 3x² και f″(x) = 6x.
Αν η θέση είναι S(t), η ταχύτητα είναι S′(t) και η επιτάχυνση S″(t).
Δες την απάντηση
Σωστό. Ρυθμοί μεταβολής θέσης και ταχύτητας.
Αν ο ρυθμός μεταβολής μιας ποσότητας είναι αρνητικός, τότε η ποσότητα είναι αρνητική.
Δες την απάντηση
Λάθος. Σημαίνει ότι η ποσότητα μειώνεται. Η τιμή της μπορεί να είναι θετική.
(√(2x + 1))′ = 1√(2x + 1).
Δες την απάντηση
Σωστό. 12√(2x + 1) · 2.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.