MathGreeceMathGreece

1.1β Όριο και συνέχεια συνάρτησης

Μάθημα 1.1β Όριο και συνέχεια συνάρτησης της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Όριο και συνέχεια συνάρτησης

Όριο μορφής 0/0

Να υπολογίσετε το limx→−1 x2 + 4x + 3x2 + x
Υποδείξεις
  • Για x = −1 μηδενίζονται αριθμητής και παρονομαστής.
  • Παραγοντοποίησε και απλοποίησε το (x + 1).
Λύση και απάντηση
  1. Κοινός παράγοντας: (x + 1).
  2. Μένει x + 3x .
  3. Όριο: −2.

Απάντηση: −2

Όριο με ρίζα

Να υπολογίσετε το limx→1 x − 1√(x + 24) − 5
Υποδείξεις
  • Πολλαπλασίασε με τη συζυγή του παρονομαστή: √(x + 24) + 5.
  • Ο παρονομαστής γίνεται x − 1.
Λύση και απάντηση
  1. (√(x + 24) − 5)(√(x + 24) + 5) = x − 1.
  2. Το κλάσμα γίνεται √(x + 24) + 5 → 10.

Απάντηση: 10

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Όριο μορφής 0/0 · Όριο με ρίζα · Παράμετρος συνέχειας.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το lim(x→2) (3x + 1) είναι:

    • 5
    • 6
    • 7
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7. Πολυωνυμική: αντικαθιστούμε.

  2. Το lim(x→1) (x² − 1)/(x − 1) είναι:

    • 0
    • 1
    • 2
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → 2.

  3. Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x₀ όταν:

    • f(x₀) = 0
    • lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
    • η f είναι αύξουσα
    • το όριο δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Ορισμός της συνέχειας.

  4. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι:

    • ασυνεχείς στο 0
    • πάντα ασυνεχείς
    • συνεχείς μόνο για x > 0
    • συνεχείς σε όλο το ℝ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: συνεχείς σε όλο το ℝ. Βασική ιδιότητα.

  5. Το lim(x→0) (x² + 2x)/x είναι:

    • 0
    • 1
    • 2
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. x + 2 → 2.

  6. Το lim(x→3) √(x + 1) είναι:

    • 2
    • 3
    • 4
    • √3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. √4 = 2.

  7. Αν lim(x→x₀) f(x) = 3 και lim(x→x₀) g(x) = 4, τότε lim(x→x₀) (f(x)·g(x)) =

    • 1
    • 12
    • 3/4
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 12. Όριο γινομένου.

  8. Το lim(x→0) ημx/x ισούται με:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 1. Βασικό τριγωνομετρικό όριο.

  9. Η f(x) = 1/x είναι συνεχής:

    • μόνο στο 0
    • πουθενά
    • σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ℝ − {0}
    • σε όλο το ℝ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ℝ − {0}. Ρητή συνάρτηση.

  10. Αν lim(x→x₀) f(x) = 5, τότε lim(x→x₀) 2f(x) =

    • 10
    • 25
    • 5
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 10. Σταθερά επί όριο.

Σωστό ή Λάθος

  1. Για να υπάρχει το limx→2 f(x) πρέπει να ορίζεται το f(2).

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Το όριο εξετάζει τι γίνεται κοντά στο 2, όχι στο 2.

  2. limx→1 x2 − 1x − 1 = 2.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Απλοποιούμε: x + 1 → 2.

  3. Κάθε συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το ℝ.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Π.χ. μια συνάρτηση «κλαδωτή» με άλμα δεν είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής.

  4. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το ℝ.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Το όριό της σε κάθε σημείο είναι η τιμή της.

  5. Αν limx→x0 f(x) = 3, τότε f(x0) = 3.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η f μπορεί να έχει άλλη τιμή στο x0 ή να μην ορίζεται εκεί. Αυτό ισχύει μόνο αν η f είναι συνεχής.

  6. limx→0 1x2 = +∞.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Ο παρονομαστής είναι θετικός και τείνει στο 0.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Διαφορικός λογισμός»