MathGreeceMathGreece

1.4β Προβλήματα βελτιστοποίησης

Μάθημα 1.4β Προβλήματα βελτιστοποίησης της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Προβλήματα βελτιστοποίησης

Περίφραξη δίπλα σε ποτάμι

Θέλουμε να περιφράξουμε ορθογώνιο χωράφι δίπλα σε ποτάμι (η πλευρά στο ποτάμι δεν χρειάζεται φράχτη) με 92 m φράχτη. Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν (σε m²);
Υποδείξεις
  • Αν x οι δύο κάθετες πλευρές, η τρίτη είναι 92 − 2x.
  • E(x) = x(92 − 2x), βρες μέγιστο με παράγωγο.
Λύση και απάντηση
  1. E(x) = 92x − 2x², E′(x) = 92 − 4x = 0 ⇒ x = 23 m.
  2. Τότε η πλευρά στο ποτάμι είναι 46 m.
  3. Emax = 23·46 = 1058 m².

Απάντηση: 1058 m²

Ανοιχτό κουτί από φύλλο

Από τετράγωνο φύλλο χαρτονιού πλευράς 30 cm κόβουμε ίσα τετράγωνα πλευράς x στις 4 γωνίες και διπλώνουμε για να φτιάξουμε ανοιχτό κουτί. Ποιος είναι ο μέγιστος όγκος (σε cm³);
Υποδείξεις
  • V(x) = x(30 − 2x)², 0 < x < 15.
  • V′(x) = (30 − 2x)(30 − 6x).
Λύση και απάντηση
  1. V′(x) = 0 ⇒ x = 5 (το x = 15 απορρίπτεται).
  2. V(5) = 5·20² = 2000 cm³.

Απάντηση: 2000 cm³

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Περίφραξη δίπλα σε ποτάμι · Ανοιχτό κουτί από φύλλο · Μέγιστο κέρδος · Μέγιστο γινόμενο x·y².

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 20, μέγιστο εμβαδόν έχει αυτό με διαστάσεις:

    • 1 × 9
    • 2 × 8
    • 4 × 6
    • 5 × 5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 5 × 5. Ε = x(10 − x), μέγιστο στο x = 5.

  2. Το μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου με περίμετρο 20 είναι:

    • 100
    • 20
    • 24
    • 25
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 25. 5·5.

  3. Δύο θετικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 10. Το μέγιστο γινόμενό τους είναι:

    • 10
    • 24
    • 25
    • 50
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 25. x(10 − x), μέγιστο για x = 5.

  4. Σε πρόβλημα βελτιστοποίησης, το πρώτο βήμα είναι:

    • να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο
    • να εκφράσουμε το μέγεθος που θέλουμε ως συνάρτηση μιας μεταβλητής
    • να παραγωγίσουμε αμέσως
    • να σχεδιάσουμε ιστόγραμμα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: να εκφράσουμε το μέγεθος που θέλουμε ως συνάρτηση μιας μεταβλητής. Μετά βρίσκουμε τα ακρότατα.

  5. Αν το κέρδος είναι Κ(x) = −x² + 40x − 300, μέγιστο κέρδος επιτυγχάνεται για x =

    • 10
    • 20
    • 300
    • 40
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 20. Κ′(x) = −2x + 40 = 0.

  6. Το μέγιστο κέρδος της Κ(x) = −x² + 40x − 300 είναι:

    • 100
    • 20
    • 300
    • 400
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 100. Κ(20) = −400 + 800 − 300.

  7. Για να βρούμε το ολικό μέγιστο σε κλειστό διάστημα [α, β] εξετάζουμε:

    • μόνο τα άκρα
    • μόνο τα κρίσιμα σημεία
    • μόνο το μέσο
    • τις τιμές στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα α, β
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τις τιμές στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα α, β. Το ολικό ακρότατο μπορεί να είναι και στα άκρα.

  8. Η ελάχιστη τιμή της f(x) = x + 4/x για x > 0 είναι:

    • 2
    • 4
    • 5
    • 8
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. f′ = 1 − 4/x² = 0 στο x = 2, f(2) = 4.

  9. Ένα κινητό έχει θέση s(t) = −t² + 8t. Η μέγιστη απόσταση από την αρχή επιτυγχάνεται τη στιγμή:

    • t = 16
    • t = 2
    • t = 4
    • t = 8
    Δες την απάντηση

    Σωστό: t = 4. s′(t) = −2t + 8 = 0.

  10. Το κόστος Κ(x) = x² − 10x + 50. Το ελάχιστο κόστος είναι:

    • 0
    • 25
    • 5
    • 50
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 25. Κ(5) = 25 − 50 + 50.

Σωστό ή Λάθος

  1. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 40, μέγιστο εμβαδόν έχει αυτό με διαστάσεις 15 × 5.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Μέγιστο εμβαδόν έχει το τετράγωνο 10 × 10 (100 > 75).

  2. Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης ελέγχουμε και τα άκρα του διαστήματος όπου ορίζεται η μεταβλητή.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Το ολικό ακρότατο μπορεί να βρίσκεται σε άκρο.

  3. Αν το κέρδος είναι P(x) = −x2 + 10x, το μέγιστο κέρδος είναι 5.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Μεγιστοποιείται για x = 5, αλλά το μέγιστο κέρδος είναι P(5) = 25.

  4. Αν δύο θετικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 10, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν είναι ίσοι.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. x(10 − x) έχει μέγιστο στο x = 5.

  5. Σε πρόβλημα βελτιστοποίησης, κάθε ρίζα της παραγώγου δίνει τη βέλτιστη λύση.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Πρέπει να ελέγξουμε αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο, και να συγκρίνουμε με τα άκρα.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Διαφορικός λογισμός»