MathGreeceMathGreece

2.4 Γραμμική παλινδρόμηση

Μάθημα 2.4 Γραμμική παλινδρόμηση της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Στατιστική». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Γραμμική παλινδρόμηση

Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων

Να βρείτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ŷ = α̂ + β̂x για τα δεδομένα:
x12345
y-5-11-15-17-17
Υποδείξεις
  • β̂ = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)Σ(xi − x̄)², α̂ = ȳ − β̂x̄.
  • x̄ = 3, Σ(xi − x̄)² = 10.
Λύση και απάντηση
  1. x̄ = 3, ȳ = −13.
  2. Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = −30 ⇒ β̂ = −3.
  3. α̂ = −13 − (−3)·3 = −4.

Απάντηση: α̂ = −4  ·  β̂ = −3

Πρόβλεψη από ευθεία παλινδρόμησης

Η ευθεία παλινδρόμησης των πωλήσεων y (σε χιλιάδες €) ως προς τη διαφήμιση x (σε χιλιάδες €) είναι ŷ = 15 + 8x. Πόσες πωλήσεις προβλέπονται για διαφήμιση 18 χιλιάδων €; Και πόσο αυξάνονται οι πωλήσεις για κάθε επιπλέον 1000 € διαφήμισης;
Υποδείξεις
  • Αντικατέστησε x = 18.
  • Η κλίση β̂ δείχνει τη μεταβολή του ŷ όταν το x αυξάνεται κατά 1.
Λύση και απάντηση
  1. ŷ = 15 + 8·18 = 159 χιλιάδες €.
  2. Κάθε +1 στο x δίνει +8 στο ŷ.

Απάντηση: ŷ = 159  ·  αύξηση = 8

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων · Πρόβλεψη από ευθεία παλινδρόμησης.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η ευθεία παλινδρόμησης του y πάνω στο x έχει μορφή:

    • x = αy²
    • y = x²
    • y = α/x
    • ŷ = α + βx
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ŷ = α + βx. Γραμμικό μοντέλο.

  2. Η μέθοδος με την οποία βρίσκουμε την ευθεία παλινδρόμησης είναι:

    • η μέθοδος της επαγωγής
    • η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων
    • ο αλγόριθμος του Ευκλείδη
    • ο κανόνας του de l'Hospital
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Ελαχιστοποιούμε το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων.

  3. Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων διέρχεται πάντα από το σημείο:

    • (0, 0)
    • (1, 1)
    • (s_x, s_y)
    • (x̄, ȳ)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: (x̄, ȳ). Ιδιότητα της ευθείας παλινδρόμησης.

  4. Ο συντελεστής β της ευθείας ŷ = α + βx εκφράζει:

    • τη διασπορά
    • τη μέση τιμή του y
    • τη μεταβολή του ŷ όταν το x αυξάνεται κατά 1
    • την τιμή του y για x = 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τη μεταβολή του ŷ όταν το x αυξάνεται κατά 1. Κλίση.

  5. Αν ŷ = 3 + 2x, η πρόβλεψη για x = 5 είναι:

    • 10
    • 13
    • 15
    • 8
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 13. 3 + 10.

  6. Αν β < 0 στην ŷ = α + βx, τότε καθώς το x αυξάνεται, το ŷ:

    • αυξάνεται
    • μένει σταθερό
    • μειώνεται
    • μηδενίζεται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: μειώνεται. Αρνητική κλίση.

  7. Αν x̄ = 4, ȳ = 10 και β = 2, τότε α =

    • 10
    • 18
    • 2
    • 8
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. α = ȳ − βx̄ = 10 − 8.

  8. Η πρόβλεψη για τιμές του x μακριά από τα δεδομένα (παρεκβολή) είναι:

    • απαγορευμένη μαθηματικά
    • επισφαλής
    • πάντα ακριβής
    • πάντα μηδέν
    Δες την απάντηση

    Σωστό: επισφαλής. Δεν ξέρουμε αν η γραμμική σχέση συνεχίζει.

  9. Τα σφάλματα (κατάλοιπα) eᵢ = yᵢ − ŷᵢ έχουν άθροισμα:

    • 0
    • 1
    • Σyᵢ
    • ν
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Ιδιότητα των ελαχίστων τετραγώνων.

  10. Το διάγραμμα που δείχνει τα ζεύγη (xᵢ, yᵢ) λέγεται:

    • διάγραμμα διασποράς
    • ιστόγραμμα
    • κυκλικό διάγραμμα
    • ραβδόγραμμα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: διάγραμμα διασποράς. Νέφος σημείων.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων διέρχεται πάντα από την αρχή των αξόνων.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Διέρχεται από το σημείο (x̄, ȳ).

  2. Η ευθεία παλινδρόμησης ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποστάσεων των σημείων από αυτήν.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

  3. Με την ευθεία παλινδρόμησης μπορούμε να κάνουμε ασφαλείς προβλέψεις για οποιαδήποτε τιμή του x.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Οι προβλέψεις είναι αξιόπιστες μόνο μέσα στο εύρος των δεδομένων.

  4. Αν ο συντελεστής β της ŷ = α + βx είναι θετικός, η y τείνει να αυξάνεται όταν αυξάνεται η x.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Θετική κλίση.

  5. Το διάγραμμα διασποράς αφορά μία μόνο μεταβλητή.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Παριστάνει ζεύγη τιμών (x, y) δύο μεταβλητών.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Στατιστική»