3.2 Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Μάθημα 3.2 Μέθοδοι ολοκλήρωσης της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ολοκληρωτικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

Λυμένες ασκήσεις: Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παραγοντική ολοκλήρωση (ορισμένο) · Αντικατάσταση · Αόριστο με παραγοντική.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

1. Ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες είναι ∫f(x)g′(x)dx =

   • f(x)g(x) + ∫f′(x)g(x)dx
   • f(x)g(x) − ∫f′(x)g(x)dx
   • f′(x)g(x)
   • ∫f(x)dx·∫g′(x)dx
   Δες την απάντηση

   Σωστό: f(x)g(x) − ∫f′(x)g(x)dx. Από τον κανόνα γινομένου.

2. Η ∫xe^x dx ισούται με:

   • (x + 1)e^x + c
   • (x − 1)e^x + c
   • xe^x + c
   • x²e^x/2 + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: (x − 1)e^x + c. Κατά παράγοντες.

3. Η ∫2x·e^(x²) dx ισούται με:

   • 2e^(x²) + c
   • e^(2x) + c
   • e^(x²) + c
   • x²e^(x²) + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: e^(x²) + c. Αντικατάσταση u = x².

4. Η ∫ln x dx ισούται με:

   • 1/x + c
   • ln²x/2 + c
   • x ln x + c
   • x ln x − x + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: x ln x − x + c. Κατά παράγοντες με g′ = 1.

5. Η ∫συν(3x) dx ισούται με:

   • 3ημ(3x) + c
   • ημ(3x) + c
   • ημ(3x)/3 + c
   • −ημ(3x)/3 + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: ημ(3x)/3 + c. Αντικατάσταση u = 3x.

6. Η ∫f′(x)/f(x) dx ισούται με:

   • 1/f(x) + c
   • f(x) + c
   • ln f′(x) + c
   • ln|f(x)| + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: ln|f(x)| + c. (ln|f|)′ = f′/f.

7. Η ∫2x/(x² + 1) dx ισούται με:

   • 1/(x² + 1) + c
   • 2 ln x + c
   • ln(x² + 1) + c
   • x² + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: ln(x² + 1) + c. Μορφή f′/f.

8. Η ∫x·ημx dx ισούται με:

   • x·ημx + c
   • x·συνx + c
   • −x·συνx + ημx + c
   • −x·συνx − ημx + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: −x·συνx + ημx + c. Κατά παράγοντες.

9. Η ∫(3x² + 2x) dx ισούται με:

   • 3x³ + x² + c
   • 6x + 2 + c
   • x³ + 2x² + c
   • x³ + x² + c
   Δες την απάντηση

   Σωστό: x³ + x² + c. Ολοκληρώνουμε όρο προς όρο.

10. Η μέθοδος της αντικατάστασης βασίζεται στον κανόνα:

    • de l'Hospital
    • της αλυσίδας
    • του γινομένου
    • του πηλίκου
    Δες την απάντηση

    Σωστό: της αλυσίδας. ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du.

Σωστό ή Λάθος

1. ∫ x e^x dx = x e^x + c.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Με παραγοντική: x e^x − e^x + c.

2. ∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f′(x)g(x)dx.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Παραγοντική ολοκλήρωση.

3. ∫ ημ²x dx = ημ³x3 + c.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Η παράγωγος του ημ³x3 είναι ημ²x · συνx. Σωστά: x2 − ημ2x4 + c.

4. ∫ f′(x)f(x) dx = ln|f(x)| + c (όπου f(x) ≠ 0).

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Αντικατάσταση u = f(x).

5. ∫ e^2x dx = e^2x + c.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Λείπει το 12: 12e^2x + c.

6. ∫ 2x συν(x²) dx = ημ(x²) + c.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Αντικατάσταση u = x².

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Ολοκληρωτικός λογισμός»

• 3.1 Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα
• 3.3 Διαφορικές εξισώσεις
• 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα
• 3.5 Η συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt – Θεμελιώδες θεώρημα
• 3.6 Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού
• 3.7 Εμβαδόν επίπεδου χωρίου