3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μάθημα 3.4 Ορισμένο ολοκλήρωμα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ολοκληρωτικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

Λυμένες ασκήσεις: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής · Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος · Ολοκλήρωμα τριγωνομετρικής.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

1. Αν f(x) ≥ 0 στο [α, β], το ∫ₐᵇ f(x)dx εκφράζει:

   • τη μέση τιμή της f′
   • την κλίση της f
   • το εμβαδόν μεταξύ Cf, x′x και των x = α, x = β
   • το μήκος της Cf
   Δες την απάντηση

   Σωστό: το εμβαδόν μεταξύ Cf, x′x και των x = α, x = β. Γεωμετρική ερμηνεία.

2. Το ∫ₐᵃ f(x)dx ισούται με:

   • 0
   • 1
   • f(α)
   • α
   Δες την απάντηση

   Σωστό: 0. Ορισμός.

3. Ισχύει ∫ₐᵇ f(x)dx =

   • 0
   • 2∫ᵦᵃ f(x)dx
   • −∫ᵦᵃ f(x)dx
   • ∫ᵦᵃ f(x)dx
   Δες την απάντηση

   Σωστό: −∫ᵦᵃ f(x)dx. Αλλαγή ορίων αλλάζει πρόσημο.

4. Ισχύει ∫ₐᵇ f + ∫ᵦᵞ f =

   • 0
   • ∫ᵦᵞ f
   • ∫ₐᵇ f·∫ᵦᵞ f
   • ∫ₐᵞ f
   Δες την απάντηση

   Σωστό: ∫ₐᵞ f. Προσθετική ιδιότητα.

5. Αν f ≥ 0 στο [α, β] (α < β), τότε ∫ₐᵇ f(x)dx:

   • = 0 πάντα
   • = 1
   • ≤ 0
   • ≥ 0
   Δες την απάντηση

   Σωστό: ≥ 0. Μονοτονία ολοκληρώματος.

6. Το ∫₀¹ c dx (c σταθερά) είναι:

   • 0
   • 1
   • c
   • c²
   Δες την απάντηση

   Σωστό: c. c·(1 − 0).

7. Το ∫₀² 3 dx ισούται με:

   • 2
   • 3
   • 5
   • 6
   Δες την απάντηση

   Σωστό: 6. 3·2.

8. Αν ∫₀¹ f = 2 και ∫₀¹ g = 3, τότε ∫₀¹ (2f + g) =

   • 5
   • 6
   • 7
   • 8
   Δες την απάντηση

   Σωστό: 7. 2·2 + 3.

9. Αν f(x) ≤ g(x) στο [α, β], τότε:

   • δεν συγκρίνονται
   • ∫ₐᵇ f = ∫ₐᵇ g
   • ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g
   • ∫ₐᵇ f ≥ ∫ₐᵇ g
   Δες την απάντηση

   Σωστό: ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g. Μονοτονία.

10. Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης είναι:

    • οικογένεια συναρτήσεων
    • πάντα θετικός
    • πραγματικός αριθμός
    • συνάρτηση του x
    Δες την απάντηση

    Σωστό: πραγματικός αριθμός. Σε αντίθεση με το αόριστο.

Σωστό ή Λάθος

1. ∫_α^β f(x)dx = ∫_β^α f(x)dx.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Ισχύει ∫_β^α f = −∫_α^β f.

2. ∫_α^α f(x)dx = 0.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Εξ ορισμού.

3. Αν ∫_α^β f(x)dx = 0, τότε f(x) = 0 στο [α, β].

   Δες την απάντηση

   Λάθος. ∫₋₁¹ x dx = 0 χωρίς η x να είναι μηδενική.

4. ∫_α^β f + ∫_β^γ f = ∫_α^γ f.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Προσθετική ιδιότητα (για συνεχή f).

5. ∫_α^β f(x)g(x)dx = ∫_α^β f(x)dx · ∫_α^β g(x)dx.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Δεν ισχύει. Π.χ. ∫₀¹ x · x dx = 13 ≠ 14.

6. Αν οι f, g είναι συνεχείς και f(x) ≥ g(x) στο [α, β], τότε ∫_α^β f ≥ ∫_α^β g.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Μονοτονία του ολοκληρώματος.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Ολοκληρωτικός λογισμός»

• 3.1 Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα
• 3.2 Μέθοδοι ολοκλήρωσης
• 3.3 Διαφορικές εξισώσεις
• 3.5 Η συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt – Θεμελιώδες θεώρημα
• 3.6 Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού
• 3.7 Εμβαδόν επίπεδου χωρίου