3.5 Η συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt – Θεμελιώδες θεώρημα

Μάθημα 3.5 Η συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt – Θεμελιώδες θεώρημα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ολοκληρωτικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt – Θεμελιώδες θεώρημα

Παράγωγος ολοκληρώματος με μεταβλητό άκρο

Δίνεται F(x) = ∫₁^x² (√t + 4t) dt. Να βρείτε το F′(1).

Υποδείξεις

Αν F(x) = ∫_α^g(x) f(t)dt, τότε F′(x) = f(g(x))·g′(x).
g(x) = x², g′(x) = 2x.

Λύση και απάντηση

F′(x) = (√(x²) + 4x²)·2x.
F′(1) = (1 + 4)·2 = 10.

Απάντηση: 10

Όριο ολοκληρώματος (de l’Hospital)

Να υπολογίσετε το lim_x→0 ∫₀^x (e^5t − 1) dtx²

Υποδείξεις

Μορφή 0/0.
Παράγωγος αριθμητή: e^5x − 1 (θεμελιώδες θεώρημα).

Λύση και απάντηση

de l’Hospital: e^5x − 12x (0/0).
Ξανά: 5e^5x2 → 52.

Απάντηση: 52

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παράγωγος ολοκληρώματος με μεταβλητό άκρο · Όριο ολοκληρώματος (de l’Hospital) · Συνάρτηση από ολοκληρωτική εξίσωση.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν η f είναι συνεχής σε Δ και α ∈ Δ, τότε η F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt έχει F′(x) =
- 0
- F(x)
- f(x)
- f(α)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x). Θεμελιώδες θεώρημα, 1ο μέρος.
Το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού δίνει ∫ₐᵇ f(x)dx =
- G(α) − G(β)
- G(β) + G(α)
- G(β) − G(α), όπου G αρχική της f
- f(β) − f(α)
Δες την απάντηση
Σωστό: G(β) − G(α), όπου G αρχική της f. Υπολογισμός μέσω αρχικής.
Το ∫₀¹ x² dx ισούται με:
- 1
- 1/2
- 1/3
- 2/3
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/3. [x³/3]₀¹.
Το ∫₀^π ημx dx ισούται με:
- 0
- 1
- 2
- π
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. [−συνx]₀^π = 1 + 1.
Το ∫₁^e (1/x)dx ισούται με:
- 0
- 1
- e
- e − 1
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. [ln x]₁^e = 1 − 0.
Αν F(x) = ∫₀ˣ e^(t²) dt, τότε F′(x) =
- 0
- 2xe^(x²)
- e^(t²)
- e^(x²)
Δες την απάντηση
Σωστό: e^(x²). Θεμελιώδες θεώρημα.
Αν G(x) = ∫₀^(x²) ημt dt, τότε G′(x) =
- 2x·ημ(x²)
- 2x·συν(x²)
- ημ(x²)
- ημx
Δες την απάντηση
Σωστό: 2x·ημ(x²). Αλυσίδα: f(g(x))·g′(x).
Το ∫₀¹ e^x dx ισούται με:
- 1
- e
- e + 1
- e − 1
Δες την απάντηση
Σωστό: e − 1. [e^x]₀¹.
Αν F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt, τότε F(α) =
- 0
- 1
- f(α)
- α
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. Ολοκλήρωμα με ίσα όρια.
Το ∫₀² (2x + 1) dx ισούται με:
- 4
- 5
- 6
- 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. [x² + x]₀² = 4 + 2.

Σωστό ή Λάθος

Αν F(x) = ∫_α^x f(t)dt, τότε F(α) = f(α).
Δες την απάντηση
Λάθος. F(α) = ∫_α^α f = 0.
Αν η f είναι συνεχής, η F(x) = ∫_α^x f(t)dt είναι παραγωγίσιμη με F′ = f.
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεμελιώδες θεώρημα.
(∫_α^x² f(t)dt)′ = f(x²).
Δες την απάντηση
Λάθος. Λείπει ο παράγοντας από τον κανόνα της αλυσίδας: f(x²) · 2x.
Αν η f είναι συνεχής, τότε ∫_α^β f(x)dx = G(β) − G(α) για κάθε αρχική G της f.
Δες την απάντηση
Σωστό. Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού.
Η G(x) = ∫_x¹ f(t)dt (f συνεχής) έχει G′(x) = f(x).
Δες την απάντηση
Λάθος. G(x) = −∫₁^x f(t)dt, άρα G′(x) = −f(x).
Αν η f είναι συνεχής και ∫₀^x f(t)dt = x² για κάθε x, τότε f(x) = 2x.
Δες την απάντηση
Σωστό. Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.