3.6 Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού

Μάθημα 3.6 Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ολοκληρωτικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού

Μέση τιμή συνάρτησης

Να βρείτε τη μέση τιμή της f(x) = x² στο [0, 3].

Υποδείξεις

Μέση τιμή = 1β − α∫_α^β f(x)dx.

Λύση και απάντηση

∫₀³ x²dx = 9.
Μέση τιμή = 3 = 3.

Απάντηση: 3

Το ξ του ΘΜΤ ολοκληρωτικού

Να βρείτε το ξ ∈ (0, 6) για το οποίο f(ξ) = 16∫₀⁶ f(x)dx, όπου f(x) = x².

Υποδείξεις

Υπολόγισε πρώτα τη μέση τιμή.
ξ² = μέση τιμή, ξ > 0.

Λύση και απάντηση

Μέση τιμή = 12.
ξ² = 12 ⇒ ξ = 2√3.

Απάντηση: 2√3

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Μέση τιμή συνάρτησης · Το ξ του ΘΜΤ ολοκληρωτικού.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], υπάρχει ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε:
- f(ξ) = (1/(β − α))∫ₐᵇ f(x)dx
- f(ξ) = 0
- f(ξ) = f(α) + f(β)
- f′(ξ) = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f(ξ) = (1/(β − α))∫ₐᵇ f(x)dx. ΘΜΤ ολοκληρωτικού λογισμού.
Η μέση τιμή της f στο [α, β] είναι:
- (1/(β − α))∫ₐᵇ f(x)dx
- (f(α) + f(β))/2
- f((α + β)/2)
- ∫ₐᵇ f(x)dx
Δες την απάντηση
Σωστό: (1/(β − α))∫ₐᵇ f(x)dx. Ορισμός.
Η μέση τιμή της f(x) = x στο [0, 2] είναι:
- 0
- 1
- 2
- 4
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. (1/2)·[x²/2]₀² = (1/2)·2.
Η μέση τιμή της f(x) = x² στο [0, 3] είναι:
- 1
- 27
- 3
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. (1/3)·[x³/3]₀³ = (1/3)·9.
Γεωμετρικά, το ΘΜΤ ολοκληρωτικού λέει ότι το εμβαδόν κάτω από την Cf (f ≥ 0) ισούται με:
- την περίμετρο
- το εμβαδόν ορθογωνίου με βάση β − α και ύψος f(ξ)
- το εμβαδόν τετραγώνου
- το μισό του ορθογωνίου
Δες την απάντηση
Σωστό: το εμβαδόν ορθογωνίου με βάση β − α και ύψος f(ξ). Ύψος ίσο με τη μέση τιμή.
Η μέση τιμή μιας σταθερής συνάρτησης f(x) = c είναι:
- 0
- c
- c(β − α)
- c/2
Δες την απάντηση
Σωστό: c. Σταθερή τιμή.
Αν m ≤ f(x) ≤ M στο [α, β], τότε:
- m ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M πάντα
- m(β − α) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(β − α)
- ∫ₐᵇ f = 0
- ∫ₐᵇ f ≥ M(β − α)
Δες την απάντηση
Σωστό: m(β − α) ≤ ∫ₐᵇ f ≤ M(β − α). Εκτίμηση ολοκληρώματος.
Η μέση τιμή της ημx στο [0, π] είναι:
- 0
- 1
- 2/π
- π/2
Δες την απάντηση
Σωστό: 2/π. (1/π)·2.
Η απαραίτητη υπόθεση για το ΘΜΤ ολοκληρωτικού είναι:
- f(α) = f(β)
- f(α)f(β) < 0
- η f να είναι παραγωγίσιμη
- η f να είναι συνεχής στο [α, β]
Δες την απάντηση
Σωστό: η f να είναι συνεχής στο [α, β]. Συνέχεια.
Η μέση τιμή της f(x) = 2x + 1 στο [0, 1] είναι:
- 1
- 1,5
- 2
- 3
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. ∫₀¹ (2x + 1)dx = 2, διαιρούμε με 1.

Σωστό ή Λάθος

Το ΘΜΤ του ολοκληρωτικού λογισμού εξασφαλίζει ξ με f(ξ) = ∫_α^β f(x)dx.
Δες την απάντηση
Λάθος. Εξασφαλίζει f(ξ) = 1β − α ∫_α^β f(x)dx.
Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], υπάρχει ξ ∈ [α, β] με f(ξ)(β − α) = ∫_α^β f(x)dx.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ισοδύναμη διατύπωση του ΘΜΤ ολοκληρωτικού.
Η μέση τιμή της f στο [α, β] είναι f(α) + f(β)2.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι 1β − α ∫_α^β f(x)dx. Ο τύπος f(α) + f(β)2 ισχύει μόνο για γραμμικές f.
Η μέση τιμή της f(x) = x στο [0, 2] είναι 1.
Δες την απάντηση
Σωστό. 12 ∫₀² x dx = 12 · 2 = 1.
Η μέση τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης στο [α, β] μπορεί να μην ανήκει στο σύνολο τιμών της.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ανήκει πάντα: είναι η τιμή f(ξ).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.