3.1 Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα

Μάθημα 3.1 Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ολοκληρωτικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα

Αόριστο ολοκλήρωμα

Να βρείτε το ∫ (−2x³ − 2x + 3e^3x) dx, x > 0.

Υποδείξεις

∫x^νdx = x^ν+1/(ν + 1), ∫(1/x)dx = ln|x|, ∫e^κxdx = e^κx/κ.
Γράψε τη λογαριθμική ως ln(x) και την εκθετική ως e^(3x).

Λύση και απάντηση

∫−2x³dx = −12x⁴.
∫−2xdx = −2ln x.
∫3e^3xdx = 1e^3x.

Απάντηση: F(x) = -(1/2)x^4-2ln(x)+e^(3x) + c

Αρχική με αρχική συνθήκη

Η F είναι αρχική της f(x) = 9x² − 8x − 1 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το (0, 5). Να βρείτε το F(3).

Υποδείξεις

Όλες οι αρχικές: F(x) = 3x³ − 4x² − x + c.
Χρησιμοποίησε F(0) = 5.

Λύση και απάντηση

F(x) = 3x³ − 4x² − x + κ.
F(0) = 0 + κ = 5 ⇒ κ = 5.
F(3) = 47.

Απάντηση: 47

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Αόριστο ολοκλήρωμα · Αρχική με αρχική συνθήκη · Ολοκλήρωμα ρητής με απλοποίηση.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αρχική (παράγουσα) της f σε διάστημα Δ λέγεται κάθε F με:
- F(x) = f(x)
- F(x) = f′(x)
- F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ
- F″ = f
Δες την απάντηση
Σωστό: F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ. Ορισμός.
Αν F είναι μια αρχική της f σε διάστημα, όλες οι αρχικές είναι:
- F(x) + c, c ∈ ℝ
- F(x) + x
- c·F(x)
- μόνο η F
Δες την απάντηση
Σωστό: F(x) + c, c ∈ ℝ. Διαφέρουν κατά σταθερά.
Μια αρχική της f(x) = 2x είναι:
- 2
- 2x²
- x²
- x²/2
Δες την απάντηση
Σωστό: x². (x²)′ = 2x.
Μια αρχική της f(x) = συνx είναι:
- ημx
- συνx
- −ημx
- −συνx
Δες την απάντηση
Σωστό: ημx. (ημx)′ = συνx.
Μια αρχική της f(x) = 1/x (x > 0) είναι:
- 1/x²
- e^x
- ln x
- −1/x²
Δες την απάντηση
Σωστό: ln x. (ln x)′ = 1/x.
Μια αρχική της f(x) = e^x είναι:
- e^(x+1)/(x + 1)
- e^x
- ln x
- xe^x
Δες την απάντηση
Σωστό: e^x. (e^x)′ = e^x.
Μια αρχική της f(x) = x³ είναι:
- 3x²
- x³/3
- x⁴
- x⁴/4
Δες την απάντηση
Σωστό: x⁴/4. (x⁴/4)′ = x³.
Η αρχική της f(x) = 2x με F(0) = 5 είναι:
- 2x + 5
- x²
- x² + 5
- x² − 5
Δες την απάντηση
Σωστό: x² + 5. F(x) = x² + c, c = 5.
Μια αρχική της ημx είναι:
- ημx
- συνx
- −ημx
- −συνx
Δες την απάντηση
Σωστό: −συνx. (−συνx)′ = ημx.
Μια αρχική της 1/συν²x είναι:
- 1/συνx
- εφx
- σφx
- −εφx
Δες την απάντηση
Σωστό: εφx. (εφx)′ = 1/συν²x.

Σωστό ή Λάθος

Η αρχική συνάρτηση μιας f σε διάστημα είναι μοναδική.
Δες την απάντηση
Λάθος. Αν F είναι αρχική, τότε και κάθε F + c.
Αν η F είναι αρχική της f σε διάστημα Δ, τότε όλες οι αρχικές της f στο Δ είναι οι F + c.
Δες την απάντηση
Σωστό. Δύο αρχικές σε διάστημα διαφέρουν κατά σταθερά.
Μια αρχική της 1x στο (0, +∞) είναι η −1x².
Δες την απάντηση
Λάθος. Η −1x² είναι η παράγωγός της. Αρχική είναι η ln x.
Η ημx + 5 είναι αρχική της συνx.
Δες την απάντηση
Σωστό. (ημx + 5)′ = συνx.
Κάθε συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα έχει αρχική.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δεν ισχύει γενικά. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα έχει αρχική.
Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα έχει αρχική.
Δες την απάντηση
Σωστό. Π.χ. την F(x) = ∫_α^x f(t)dt.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.