2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης

Μάθημα 2.10 Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης

Πλήθος ριζών κυβικής εξίσωσης

Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση x³ − 12x − 21 = 0;

Υποδείξεις

Μελέτησε την g(x) = x³ − 12x: ακρότατα στα ±2.
Η εξίσωση γράφεται g(x) = 21· σύγκρινε με τις τιμές των ακροτάτων.

Λύση και απάντηση

g′(x) = 3x² − 12 = 0 ⇔ x = ±2.
Τοπικό μέγιστο g(−2) = 16, τοπικό ελάχιστο g(2) = −16.
Η ευθεία y = 21 είναι έξω από το [−16, 16]: 1 ρίζα.

Απάντηση: 1

Σύνολο τιμών

Ποιο είναι το σύνολο τιμών της f(x) = x²x² + 3;

[0, 1)
[0, 1]
(0, 1)
[0, +∞)
(−∞, 1)

Υποδείξεις

f(x) = 1 − 3x² + 3.
Το 3x² + 3 παίρνει τιμές στο (0, 1].

Λύση και απάντηση

f(0) = 0 (ελάχιστο).
Όταν |x| → +∞, f → 1 χωρίς να το φτάνει.
Σύνολο τιμών: [0, 1).

Απάντηση: [0, 1)

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Πλήθος ριζών κυβικής εξίσωσης · Σύνολο τιμών · Πλήθος λύσεων της eˣ = αx.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η μελέτη μιας συνάρτησης ξεκινά με:
- την ολοκλήρωση
- το πεδίο ορισμού
- το σύνολο τιμών
- τον πίνακα τιμών μόνο
Δες την απάντηση
Σωστό: το πεδίο ορισμού. Πρώτα το Df.
Η μονοτονία και τα ακρότατα βρίσκονται από:
- τις ασύμπτωτες
- το πρόσημο της f
- το πρόσημο της f′
- το πρόσημο της f″
Δες την απάντηση
Σωστό: το πρόσημο της f′. Πίνακας προσήμου της f′.
Η κυρτότητα και τα σημεία καμπής βρίσκονται από:
- τις ρίζες της f
- το Df
- το πρόσημο της f′
- το πρόσημο της f″
Δες την απάντηση
Σωστό: το πρόσημο της f″. Πίνακας προσήμου της f″.
Αν η f είναι άρτια, η Cf είναι συμμετρική ως προς:
- την y = x
- την αρχή Ο
- τον άξονα x′x
- τον άξονα y′y
Δες την απάντηση
Σωστό: τον άξονα y′y. f(−x) = f(x).
Αν η f είναι περιττή, η Cf είναι συμμετρική ως προς:
- την y = x
- την αρχή Ο
- τον άξονα x′x
- τον άξονα y′y
Δες την απάντηση
Σωστό: την αρχή Ο. f(−x) = −f(x).
Αν η f είναι περιοδική με περίοδο Τ, αρκεί να τη μελετήσουμε:
- μόνο για x > 0
- σε ένα διάστημα πλάτους Τ
- σε ένα σημείο
- σε όλο το ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: σε ένα διάστημα πλάτους Τ. Μετά επαναλαμβάνεται.
Η f(x) = x³ − 3x είναι:
- άρτια
- περιοδική
- περιττή
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: περιττή. f(−x) = −x³ + 3x = −f(x).
Το σύνολο τιμών της f(x) = x² + 1 είναι:
- (1, +∞)
- [0, +∞)
- [1, +∞)
- ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: [1, +∞). Ελάχιστη τιμή 1.
Η f(x) = x³ − 3x έχει τοπικό ελάχιστο:
- 0 στο x = 0
- 2 στο x = −1
- −2 στο x = 1
- −3 στο x = 1
Δες την απάντηση
Σωστό: −2 στο x = 1. f(1) = 1 − 3 = −2.
Η f(x) = e^x/x έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την:
- x = 0
- x = 1
- y = 0
- y = 1
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 0. Ο παρονομαστής μηδενίζεται στο 0.

Σωστό ή Λάθος

Για να χαράξουμε τη C_f αρκεί να βρούμε τα ακρότατά της.
Δες την απάντηση
Λάθος. Χρειάζονται επίσης μονοτονία, κυρτότητα, σημεία καμπής, ασύμπτωτες και όρια στα άκρα.
Αν η f είναι περιττή, αρκεί να τη μελετήσουμε για x ≥ 0 και να χρησιμοποιήσουμε τη συμμετρία ως προς την αρχή.
Δες την απάντηση
Σωστό. Η C_f είναι συμμετρική ως προς το Ο.
Η f(x) = x³ − 3x έχει σύνολο τιμών το [−2, 2].
Δες την απάντηση
Λάθος. Το −2 και το 2 είναι τοπικά ακρότατα. Αφού τα όρια στο ±∞ είναι ±∞, το σύνολο τιμών είναι το ℝ.
Αν η f είναι περιοδική με περίοδο Τ, αρκεί να μελετηθεί σε ένα διάστημα μήκους Τ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Η C_f επαναλαμβάνεται.
Αν η f έχει τοπικό μέγιστο 3, τότε το μέγιστο του συνόλου τιμών της είναι το 3.
Δες την απάντηση
Λάθος. Τοπικό ≠ ολικό. Η f μπορεί να παίρνει μεγαλύτερες τιμές αλλού.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.