2.4 Ρυθμός μεταβολής

Μάθημα 2.4 Ρυθμός μεταβολής της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ρυθμός μεταβολής

Σκάλα που γλιστράει

Μια σκάλα μήκους 15 m ακουμπά σε κατακόρυφο τοίχο. Η βάση της απομακρύνεται από τον τοίχο με ρυθμό 2 m/s. Με ποιον ρυθμό (σε m/s) κατεβαίνει η κορυφή της τη στιγμή που η βάση απέχει 9 m από τον τοίχο;

Υποδείξεις

x² + y² = 225· παραγώγισε ως προς t.
2xx′ + 2yy′ = 0 ⇒ y′ = −xx′/y.

Λύση και απάντηση

Όταν x = 9: y = √(225 − 81) = 12.
y′ = −9·2/12 = −32 m/s.
Η κορυφή κατεβαίνει με ρυθμό 32 m/s.

Απάντηση: 32 m/s

Μπαλόνι που φουσκώνει

Η ακτίνα ενός σφαιρικού μπαλονιού αυξάνεται με ρυθμό 3 cm/s. Με ποιον ρυθμό αυξάνεται ο όγκος του όταν r = 5 cm; (Γράψε την απάντηση με π, σε cm³/s.)

Υποδείξεις

V = 43πr³.
V′(t) = 4πr²·r′(t).

Λύση και απάντηση

V′ = 4πr²r′.
Για r = 5: V′ = 4π·25·3 = 300π cm³/s.

Απάντηση: 300π cm³/s

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Σκάλα που γλιστράει · Μπαλόνι που φουσκώνει · Ρυθμός μεταβολής εμβαδού τριγώνου.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Ο ρυθμός μεταβολής του y = f(x) ως προς x στο x₀ είναι:
- f(x₀)
- f(x₀)/x₀
- f′(x₀)
- f″(x₀)
Δες την απάντηση
Σωστό: f′(x₀). Ορισμός.
Αν S(t) = t³, η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t = 2 είναι:
- 12
- 4
- 6
- 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 12. S′(t) = 3t².
Αν S(t) = t³, η επιτάχυνση τη στιγμή t = 2 είναι:
- 12
- 24
- 6
- 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 12. S″(t) = 6t.
Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού κύκλου Ε = πr² ως προς r, όταν r = 3, είναι:
- 2π
- 3π
- 6π
- 9π
Δες την απάντηση
Σωστό: 6π. Ε′ = 2πr.
Αν x = x(t) και y = x², τότε dy/dt =
- 2x
- 2x·x′(t)
- x²·x′(t)
- x′(t)²
Δες την απάντηση
Σωστό: 2x·x′(t). Αλυσίδα.
Αν η ακτίνα ενός κύκλου αυξάνεται με ρυθμό 2 cm/s, ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού όταν r = 5 είναι:
- 10π cm²/s
- 20π cm²/s
- 25π cm²/s
- 4π cm²/s
Δες την απάντηση
Σωστό: 20π cm²/s. Ε′(t) = 2πr·r′(t) = 2π·5·2.
Το οριακό κόστος είναι:
- η παράγωγος της συνάρτησης κόστους
- το κέρδος
- το κόστος ανά μονάδα
- το συνολικό κόστος
Δες την απάντηση
Σωστό: η παράγωγος της συνάρτησης κόστους. Ρυθμός μεταβολής κόστους.
Αν η ταχύτητα υ(t) > 0, το κινητό κινείται:
- επιβραδύνεται πάντα
- κατά τη θετική φορά
- κατά την αρνητική φορά
- μένει ακίνητο
Δες την απάντηση
Σωστό: κατά τη θετική φορά. Αύξουσα θέση.
Ο ρυθμός μεταβολής του όγκου κύβου V = x³ ως προς την ακμή x, όταν x = 2, είναι:
- 12
- 4
- 6
- 8
Δες την απάντηση
Σωστό: 12. V′ = 3x².
Ένα κινητό σταματά στιγμιαία όταν:
- S(t) = 0
- t = 0
- α(t) = 0
- υ(t) = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: υ(t) = 0. Μηδενική ταχύτητα.

Σωστό ή Λάθος

Αν S(t) είναι η θέση ενός κινητού, η επιτάχυνσή του είναι S′(t).
Δες την απάντηση
Λάθος. Η S′(t) είναι η ταχύτητα. Η επιτάχυνση είναι η S″(t).
Ο οριακός ρυθμός μεταβολής του κόστους Κ(x) στο x₀ είναι το Κ′(x₀).
Δες την απάντηση
Σωστό. Ορισμός του ρυθμού μεταβολής.
Αν η ταχύτητα ενός κινητού είναι αρνητική, το κινητό είναι ακίνητο.
Δες την απάντηση
Λάθος. Κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση. Ακίνητο είναι όταν υ = 0.
Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε(ρ) = πρ² ως προς την ακτίνα ισούται με το μήκος του κύκλου.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ε′(ρ) = 2πρ.
Αν το x(t) αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες/s, τότε και το x² αυξάνεται με ρυθμό 2 μονάδες/s.
Δες την απάντηση
Λάθος. (x²)′ = 2x · x′ = 4x, άρα εξαρτάται από το x.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.