2.6 Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής

Μάθημα 2.6 Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής

Συνάρτηση από την παράγωγό της

Για την f ισχύει f′(x) = 3x² + 10x − 1 για κάθε x ∈ ℝ και f(−1) = −5. Να βρείτε το f(−1).

Υποδείξεις

Συνέπεια ΘΜΤ: αν f′ = g′ στο ℝ, τότε f = g + c.
Μια αρχική της f′ είναι η x³ + 5x² − x.

Λύση και απάντηση

f(x) = x³ + 5x² − x + κ.
f(−1) = 5 + κ = −5 ⇒ κ = −10.
f(−1) = 5 − 10 = −5.

Απάντηση: −5

Διάστημα όπου η f είναι φθίνουσα

Δίνεται η f(x) = x³ + 9x² + 24x + 4. Η f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα [α, β] (και αύξουσα έξω από αυτό). Να βρείτε α και β.

Υποδείξεις

f′(x) = 3x² + 18x + 24.
Βρες τις ρίζες της f′ και το πρόσημό της.

Λύση και απάντηση

f′(x) = 3(x + 4)(x + 2).
f′ < 0 ανάμεσα στις ρίζες ⇒ f γνησίως φθίνουσα στο [−4, −2].

Απάντηση: α = −4 · β = −2

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Συνάρτηση από την παράγωγό της · Διάστημα όπου η f είναι φθίνουσα · f′ = κf.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν f′(x) = 0 για κάθε εσωτερικό x ενός διαστήματος Δ (με f συνεχή στο Δ), τότε η f είναι:
- γνησίως αύξουσα
- μηδενική
- περιοδική
- σταθερή στο Δ
Δες την απάντηση
Σωστό: σταθερή στο Δ. Συνέπεια του ΘΜΤ.
Αν f′(x) = g′(x) σε ένα διάστημα Δ, τότε:
- f = g
- f = g′
- f(x) = c·g(x)
- f(x) = g(x) + c στο Δ
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x) = g(x) + c στο Δ. Η διαφορά τους είναι σταθερή.
Αν f′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ (f συνεχής στο Δ), η f είναι:
- γνησίως αύξουσα στο Δ
- γνησίως φθίνουσα
- κυρτή
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως αύξουσα στο Δ. Κριτήριο μονοτονίας.
Η f(x) = x³ είναι γνησίως αύξουσα, αλλά f′(0) =
- 0
- 1
- 3
- δεν ορίζεται
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. Το αντίστροφο του κριτηρίου δεν ισχύει.
Αν f′(x) = 2x για κάθε x και f(0) = 3, τότε f(x) =
- 2x + 3
- x²
- x² + 3
- x² − 3
Δες την απάντηση
Σωστό: x² + 3. f(x) = x² + c, c = 3.
Αν f′(x) = f(x) για κάθε x ∈ ℝ, τότε:
- f(x) = c
- f(x) = ce^x
- f(x) = ln x
- f(x) = x
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x) = ce^x. (f(x)e^(−x))′ = 0.
Το συμπέρασμα «f′ = 0 ⇒ f σταθερή» ισχύει:
- μόνο στο ℝ
- σε ένωση διαστημάτων πάντα
- σε διάστημα
- σε οποιοδήποτε σύνολο
Δες την απάντηση
Σωστό: σε διάστημα. Σε ένωση διαστημάτων η σταθερά μπορεί να διαφέρει.
Η f(x) = e^x − x έχει f′(x) = e^x − 1. Στο (0, +∞) η f είναι:
- γνησίως αύξουσα
- γνησίως φθίνουσα
- μη μονότονη
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως αύξουσα. f′ > 0 για x > 0.
Η f(x) = ln x − x είναι γνησίως φθίνουσα στο:
- (0, +∞)
- (0, 1]
- [1, +∞)
- ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: [1, +∞). f′(x) = 1/x − 1 ≤ 0 για x ≥ 1.
Αν f′(x) < 0 στο (α, β) (f συνεχής στο [α, β]), τότε:
- f(α) < f(β)
- f(α) = 0
- f(α) = f(β)
- f(α) > f(β)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(α) > f(β). Γνησίως φθίνουσα.

Σωστό ή Λάθος

Αν f′(x) = g′(x) για κάθε x ∈ ℝ*, τότε f = g + c.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει μόνο σε διάστημα. Στο ℝ* μπορεί να είναι f = g + c₁ για x < 0 και f = g + c₂ για x > 0.
Αν f′(x) = 0 για κάθε x ενός διαστήματος, τότε η f είναι σταθερή σε αυτό.
Δες την απάντηση
Σωστό. Συνέπεια του ΘΜΤ.
Αν f′(x) ≥ 0 σε ένα διάστημα, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό.
Δες την απάντηση
Λάθος. Μια σταθερή συνάρτηση έχει f′ = 0 ≥ 0 χωρίς να είναι γνησίως αύξουσα.
Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και f′(x) > 0 σε όλα τα εσωτερικά σημεία του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κριτήριο μονοτονίας.
Αφού (1/x)′ < 0, η f(x) = 1/x είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι γνησίως φθίνουσα στο (−∞, 0) και στο (0, +∞) χωριστά, όχι στην ένωση: f(−1) < f(1).
Αν f′(x) = f(x) για κάθε x ∈ ℝ, τότε f(x) = c · e^x.
Δες την απάντηση
Σωστό. (f(x)e^−x)′ = 0.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.