2.3 Κανόνες παραγώγισης

Μάθημα 2.3 Κανόνες παραγώγισης της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Κανόνες παραγώγισης

Δεύτερη παράγωγος γινομένου με εκθετική

Δίνεται η f(x) = (−4x − 5)e^2x. Να βρείτε το f″(0).

Υποδείξεις

f′(x) = −4e^2x + 2(−4x − 5)e^2x.
Παραγώγισε ξανά με τον κανόνα του γινομένου.

Λύση και απάντηση

f′(x) = [−4 + 2(−4x − 5)]e^2x = (−8x − 14)e^2x.
f″(x) = [−8 + 2(−8x − 14)]e^2x.
f″(0) = −8 − 28 = −36.

Απάντηση: −36

Παράγωγος σύνθετης με λογάριθμο

Να βρείτε το f′(−1) για την f(x) = ln(x² + x + 2).

Υποδείξεις

(ln u)′ = u′/u.
u = x² + x + 2, u′ = 2x + 1.

Λύση και απάντηση

f′(x) = 2x + 1x² + x + 2.
f′(−1) = −12 = −12.

Απάντηση: −12

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Δεύτερη παράγωγος γινομένου με εκθετική · Παράγωγος σύνθετης με λογάριθμο · Εφαπτομένες από την αρχή των αξόνων.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Ισχύει (f·g)′ =
- f′ + g′
- f′g + fg′
- f′g − fg′
- f′g′
Δες την απάντηση
Σωστό: f′g + fg′. Κανόνας γινομένου.
Ισχύει (f/g)′ =
- (fg′ − f′g)/g²
- (f′g + fg′)/g²
- (f′g − fg′)/g²
- f′/g′
Δες την απάντηση
Σωστό: (f′g − fg′)/g². Κανόνας πηλίκου.
Η παράγωγος της f(g(x)) είναι:
- f(g′(x))
- f′(g(x))·g′(x)
- f′(g′(x))
- f′(x)·g′(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: f′(g(x))·g′(x). Κανόνας αλυσίδας.
Η παράγωγος της εφx είναι:
- 1/ημ²x
- 1/συν²x
- σφx
- −1/συν²x
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/συν²x. (ημx/συνx)′.
Η παράγωγος της x·e^x είναι:
- (x + 1)e^x
- e^x
- xe^x
- x²e^x
Δες την απάντηση
Σωστό: (x + 1)e^x. Κανόνας γινομένου.
Η παράγωγος της ημ(x²) είναι:
- 2x·ημ(x²)
- 2x·συν(x²)
- συν(2x)
- συν(x²)
Δες την απάντηση
Σωστό: 2x·συν(x²). Αλυσίδα.
Η παράγωγος της α^x (α > 0) είναι:
- xα^(x−1)
- α^x
- α^x/ln α
- α^x·ln α
Δες την απάντηση
Σωστό: α^x·ln α. α^x = e^(x ln α).
Η παράγωγος της x^α (x > 0, α ∈ ℝ) είναι:
- x^(α−1)
- x^α ln x
- αx^(α−1)
- αx^α
Δες την απάντηση
Σωστό: αx^(α−1). Γενίκευση του τύπου.
Η παράγωγος της ln(x² + 1) είναι:
- 1/(x² + 1)
- 2x
- 2x/(x² + 1)
- ln(2x)
Δες την απάντηση
Σωστό: 2x/(x² + 1). Αλυσίδα.
Η παράγωγος της 1/x (x ≠ 0) είναι:
- 1/x²
- ln x
- −1/x
- −1/x²
Δες την απάντηση
Σωστό: −1/x². (x⁻¹)′ = −x⁻².

Σωστό ή Λάθος

(fg)′ = f′g′.
Δες την απάντηση
Λάθος. (fg)′ = f′g − fg′g².
(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x).
Δες την απάντηση
Σωστό. Κανόνας αλυσίδας.
(x^x)′ = x · x^x−1.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ο τύπος (x^ν)′ ισχύει για σταθερό εκθέτη. Εδώ x^x = e^{x ln x}, άρα (x^x)′ = x^x(ln x + 1).
(εφx)′ = 1συν²x.
Δες την απάντηση
Σωστό. Με τον κανόνα του πηλίκου για ημxσυνx.
(ln(2x))′ = 2x.
Δες την απάντηση
Λάθος. (12x) · 2 = 1x. Εξάλλου ln(2x) = ln2 + ln x.
(α^x)′ = α^x ln α για α > 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. α^x = e^{x ln α}.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.