MathGreeceMathGreece

2.5 Το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού

Μάθημα 2.5 Το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού

Θεώρημα Rolle: όλα τα ξ

Η συνάρτηση f(x) = x3 + 6x2 + 3x ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [−5, 1]. Να βρείτε όλα τα ξ ∈ (−5, 1) με f′(ξ) = 0.
Υποδείξεις
  • f′(x) = 3x2 + 12x + 3.
  • Λύσε f′(x) = 0 και έλεγξε ότι οι ρίζες ανήκουν στο διάστημα.
Λύση και απάντηση
  1. f′(x) = 3x2 + 12x + 3 = 0.
  2. Δ = 108, ξ = −2 ± √3.
  3. √3 ≈ 1,73, άρα και οι δύο ανήκουν στο (−5, 1).

Απάντηση: −2 ± √3

ΘΜΤ για την x³

Να βρείτε τον αριθμό ξ ∈ (2, 4) που προβλέπει το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την f(x) = x³ στο [2, 4].
Υποδείξεις
  • f′(ξ) = f(4) − f(2)4 − 2.
  • 3ξ² = 562.
Λύση και απάντηση
  1. f′(ξ) = 3ξ² και 64 − 82 = 28.
  2. ξ² = 283 ⇒ ξ = 2√213 (θετική, μέσα στο διάστημα).

Απάντηση: 2√213

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Θεώρημα Rolle: όλα τα ξ · ΘΜΤ για την x³ · Φράγμα τιμής από την παράγωγο.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το θεώρημα του Rolle απαιτεί η f να είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και:

    • f(α) = 0
    • f(α) = f(β)
    • f(α)·f(β) < 0
    • f′(α) = 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f(α) = f(β). Τότε υπάρχει ξ ∈ (α, β) με f′(ξ) = 0.

  2. Το συμπέρασμα του Rolle είναι ότι υπάρχει ξ ∈ (α, β) με:

    • f(ξ) = 0
    • f(ξ) = f(α) + 1
    • f′(ξ) = 0
    • f′(ξ) = 1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f′(ξ) = 0. Οριζόντια εφαπτομένη.

  3. Το ΘΜΤ λέει ότι υπάρχει ξ ∈ (α, β) με:

    • f(ξ) = (f(α) + f(β))/2
    • f′(ξ) = (f(β) − f(α))/(β − α)
    • f′(ξ) = 0
    • f′(ξ) = f(β) − f(α)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f′(ξ) = (f(β) − f(α))/(β − α). Εφαπτομένη παράλληλη στη χορδή.

  4. Γεωμετρικά, το ΘΜΤ λέει ότι υπάρχει σημείο όπου η εφαπτομένη είναι:

    • κάθετη στη χορδή ΑΒ
    • κατακόρυφη
    • οριζόντια πάντα
    • παράλληλη στη χορδή ΑΒ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: παράλληλη στη χορδή ΑΒ. Κλίση ίση με την κλίση της χορδής.

  5. Για την f(x) = x² στο [0, 2], το ξ του ΘΜΤ είναι:

    • 0
    • 1
    • 1/2
    • 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 1. f′(ξ) = 2ξ = (4 − 0)/2.

  6. Το θεώρημα Rolle είναι ειδική περίπτωση:

    • της παρεμβολής
    • του Bolzano
    • του de l'Hospital
    • του ΘΜΤ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: του ΘΜΤ. Όταν f(α) = f(β), η κλίση της χορδής είναι 0.

  7. Η f(x) = |x| στο [−1, 1] ικανοποιεί το Rolle;

    • Όχι, δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0
    • Ναι
    • Ναι, με ξ = 0
    • Ναι, με ξ = 1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Όχι, δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Αποτυγχάνει μία προϋπόθεση.

  8. Αν η f′ δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα, η f έχει εκεί:

    • άπειρες ρίζες
    • ακριβώς δύο ρίζες
    • το πολύ μία ρίζα
    • τουλάχιστον δύο ρίζες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: το πολύ μία ρίζα. Αλλιώς από το Rolle η f′ θα μηδενιζόταν.

  9. Για την f(x) = x³ στο [0, 3], η κλίση της χορδής είναι:

    • 0
    • 27
    • 3
    • 9
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 9. (27 − 0)/3.

  10. Το ΘΜΤ απαιτεί συνέχεια στο [α, β] και:

    • f(α) = f(β)
    • f(α)f(β) < 0
    • f′ συνεχή
    • παραγωγισιμότητα στο (α, β)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: παραγωγισιμότητα στο (α, β). Οι δύο υποθέσεις.

Σωστό ή Λάθος

  1. Το θεώρημα Rolle απαιτεί η f να είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό [α, β].

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Απαιτεί συνέχεια στο [α, β] και παραγωγισιμότητα στο ανοικτό (α, β).

  2. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και f(α) = f(β), υπάρχει ξ ∈ (α, β) με f′(ξ) = 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Θεώρημα Rolle.

  3. Η f(x) = |x| στο [−1, 1] ικανοποιεί το θεώρημα Rolle, αφού f(−1) = f(1).

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 ∈ (−1, 1). Και πράγματι δεν υπάρχει ξ με f′(ξ) = 0.

  4. Από το ΘΜΤ, η εφαπτομένη στο ξ είναι παράλληλη στη χορδή που ενώνει τα (α, f(α)) και (β, f(β)).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. f′(ξ) = f(β) − f(α)β − α.

  5. Το ΘΜΤ δίνει τη θέση του ξ.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Εξασφαλίζει μόνο ότι υπάρχει ξ, όχι πού βρίσκεται.

  6. Αν η f είναι παραγωγίσιμη και η f′ δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα, τότε η f έχει το πολύ μία ρίζα σε αυτό.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Δύο ρίζες θα έδιναν, από το Rolle, μια ρίζα της f′.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Διαφορικός λογισμός»