2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση

Μάθημα 2.2 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση

Παράγωγος με ρητό εκθέτη

Να βρείτε το f′(9) για την f(x) = x√x, x > 0.

Υποδείξεις

Γράψε f(x) = x^{1 + ½} = x^3/2.
(x^ρ)′ = ρx^ρ−1.

Λύση και απάντηση

f(x) = x^3/2, f′(x) = 32x^1/2.
f′(9) = 32·3¹ = 92.

Απάντηση: 92

Ανώτερες παράγωγοι στο 0

Να βρείτε το f⁽³⁾(0) για την f(x) = ημ(3x).

Υποδείξεις

Υπολόγισε f′, f″, f‴, f⁽⁴⁾: τα πρόσημα και οι συναρτήσεις επαναλαμβάνονται ανά 4.
Στο 0: ημ0 = 0, συν0 = 1.

Λύση και απάντηση

f′ = 3συν(3x), f″ = −3²ημ(3x), f‴ = −3³συν(3x), f⁽⁴⁾ = 3⁴ημ(3x).
Η 3η παράγωγος είναι ±3³συν(3x), με πρόσημο −.
f⁽³⁾(0) = −27.

Απάντηση: −27

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παράγωγος με ρητό εκθέτη · Ανώτερες παράγωγοι στο 0 · Συναρτησιακή σχέση και παράγωγος.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η παράγωγος της f(x) = c (σταθερή) είναι:
- 0
- 1
- c
- x
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. Ο λόγος μεταβολής είναι 0.
Η παράγωγος της x^ν (ν ∈ ℕ) είναι:
- x^(ν+1)
- x^(ν−1)
- νx^(ν−1)
- νx^ν
Δες την απάντηση
Σωστό: νx^(ν−1). Βασικός τύπος.
Η παράγωγος της √x (x > 0) είναι:
- 1/(2√x)
- 1/√x
- 2√x
- √x/2
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/(2√x). Βασικός τύπος.
Η παράγωγος της ημx είναι:
- ημx
- συνx
- −ημx
- −συνx
Δες την απάντηση
Σωστό: συνx. Βασικός τύπος.
Η παράγωγος της συνx είναι:
- ημx
- συνx
- −ημx
- −συνx
Δες την απάντηση
Σωστό: −ημx. Βασικός τύπος.
Η παράγωγος της e^x είναι:
- 1
- e
- e^x
- xe^(x−1)
Δες την απάντηση
Σωστό: e^x. Βασικός τύπος.
Η παράγωγος της ln|x| (x ≠ 0) είναι:
- 1/x
- 1/|x|
- ln x
- x
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/x. Ισχύει για x > 0 και για x < 0.
Η δεύτερη παράγωγος της ημx είναι:
- ημx
- συνx
- −ημx
- −συνx
Δες την απάντηση
Σωστό: −ημx. (συνx)′ = −ημx.
Η √x στο x₀ = 0:
- έχει παράγωγο 1/2
- δεν είναι παραγωγίσιμη
- είναι ασυνεχής
- είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο 0
Δες την απάντηση
Σωστό: δεν είναι παραγωγίσιμη. Ο λόγος μεταβολής τείνει στο +∞.
Η τρίτη παράγωγος της x³ είναι:
- 0
- 3x²
- 6
- 6x
Δες την απάντηση
Σωστό: 6. 3x² → 6x → 6.

Σωστό ή Λάθος

(ημx)′ = −συνx.
Δες την απάντηση
Λάθος. (ημx)′ = συνx. Το μείον εμφανίζεται στο (συνx)′ = −ημx.
(συνx)′ = −ημx.
Δες την απάντηση
Σωστό. Βασικός τύπος.
(ln x)′ = 1x για κάθε x ≠ 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η ln x ορίζεται μόνο για x > 0. Για x ≠ 0 ισχύει (ln|x|)′ = 1x.
(√x)′ = 12√x για x > 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. Στο 0 δεν είναι παραγωγίσιμη.
Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ, τότε η f′ είναι οπωσδήποτε συνεχής.
Δες την απάντηση
Λάθος. Υπάρχουν παραγωγίσιμες συναρτήσεις με ασυνεχή παράγωγο, π.χ. η x²ημ1x (με f(0) = 0).
Η δεύτερη παράγωγος της e^x είναι η e^x.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κάθε παράγωγός της είναι η ίδια.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.