2.8 Κυρτότητα – Σημεία καμπής

Μάθημα 2.8 Κυρτότητα – Σημεία καμπής της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Κυρτότητα – Σημεία καμπής

Σημείο καμπής κυβικής

Να βρείτε το σημείο καμπής της f(x) = x³ + 3x² − 4x − 5.

Υποδείξεις

f″(x) = 6x + 6.
Σημείο καμπής εκεί όπου η f″ μηδενίζεται και αλλάζει πρόσημο.

Λύση και απάντηση

f″(x) = 6x + 6 = 0 ⇔ x = −1.
Η f″ αλλάζει πρόσημο ⇒ σημείο καμπής (−1, 1).

Απάντηση: x₀ = −1 · f(x₀) = 1

Σημεία καμπής τεταρτοβάθμιας

Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων καμπής της f(x) = x⁴ − 24x² + x.

Υποδείξεις

f″(x) = 12x² − 48.
Η f″ αλλάζει πρόσημο στις ρίζες της;

Λύση και απάντηση

f″(x) = 12(x² − 4) = 12(x − 2)(x + 2).
Αλλάζει πρόσημο στο ±2 ⇒ σημεία καμπής στα x = −2 και x = 2.

Απάντηση: 2 ή −2

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Σημείο καμπής κυβικής · Σημεία καμπής τεταρτοβάθμιας · Παράμετρος από σημείο καμπής.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν f″(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ, η f είναι στο Δ:
- γνησίως φθίνουσα
- κοίλη
- κυρτή
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: κυρτή. Η f′ είναι γνησίως αύξουσα.
Αν f″(x) < 0 σε ένα διάστημα, η f είναι εκεί:
- αύξουσα
- γραμμική
- κοίλη
- κυρτή
Δες την απάντηση
Σωστό: κοίλη. Η f′ είναι γνησίως φθίνουσα.
Μια κυρτή συνάρτηση βρίσκεται:
- κάτω από τις εφαπτομένες της
- πάντα πάνω από τον x′x
- πάνω από τις εφαπτομένες της (εκτός του σημείου επαφής)
- πάνω στις εφαπτομένες
Δες την απάντηση
Σωστό: πάνω από τις εφαπτομένες της (εκτός του σημείου επαφής). Ιδιότητα κυρτότητας.
Η f(x) = x² είναι:
- κοίλη στο ℝ
- κυρτή μόνο για x > 0
- κυρτή στο ℝ
- ούτε κυρτή ούτε κοίλη
Δες την απάντηση
Σωστό: κυρτή στο ℝ. f″ = 2 > 0.
Η f(x) = x³ έχει σημείο καμπής στο:
- (0, 0)
- (1, 1)
- (−1, −1)
- δεν έχει
Δες την απάντηση
Σωστό: (0, 0). f″ = 6x αλλάζει πρόσημο στο 0.
Αν το (x₀, f(x₀)) είναι σημείο καμπής και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε:
- f(x₀) = 0
- f′(x₀) = 0
- f″(x₀) = 0
- f″(x₀) > 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f″(x₀) = 0. Αναγκαία συνθήκη.
Η f(x) = x⁴ έχει f″(0) = 0, αλλά στο 0:
- έχει σημείο καμπής
- δεν έχει σημείο καμπής
- είναι ασυνεχής
- είναι κοίλη
Δες την απάντηση
Σωστό: δεν έχει σημείο καμπής. Η f″ = 12x² δεν αλλάζει πρόσημο.
Η f(x) = e^x είναι:
- γραμμική
- κοίλη για x < 0
- κοίλη στο ℝ
- κυρτή στο ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: κυρτή στο ℝ. f″ = e^x > 0.
Η f(x) = ln x είναι:
- γραμμική
- κοίλη στο (0, +∞)
- κυρτή
- κυρτή για x > 1
Δες την απάντηση
Σωστό: κοίλη στο (0, +∞). f″ = −1/x² < 0.
Από την κυρτότητα της e^x προκύπτει η ανισότητα:
- e^x ≤ x
- e^x ≤ x + 1
- e^x ≥ x + 1
- e^x ≥ x²
Δες την απάντηση
Σωστό: e^x ≥ x + 1. Η y = x + 1 είναι εφαπτομένη στο 0.

Σωστό ή Λάθος

Αν f″(x₀) = 0, τότε το x₀ είναι θέση σημείου καμπής.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η x⁴ έχει f″(0) = 0 και είναι κυρτή στο ℝ.
Αν η f είναι κυρτή σε ένα διάστημα, η C_f βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της σε αυτό (εκτός από το σημείο επαφής).
Δες την απάντηση
Σωστό. Χαρακτηριστική ιδιότητα της κυρτότητας.
Κάθε κυρτή συνάρτηση είναι και γνησίως αύξουσα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η x² είναι κυρτή, αλλά φθίνουσα στο (−∞, 0].
Η e^x είναι κυρτή στο ℝ.
Δες την απάντηση
Σωστό. (e^x)″ = e^x > 0.
Η ln x είναι κυρτή στο (0, +∞).
Δες την απάντηση
Λάθος. (ln x)″ = −1x² < 0, άρα είναι κοίλη.
Σε σημείο καμπής η C_f «διασχίζει» την εφαπτομένη της.
Δες την απάντηση
Σωστό. Αλλάζει από κυρτή σε κοίλη (ή αντίστροφα).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.