MathGreeceMathGreece

2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης

Μάθημα 2.7 Τοπικά ακρότατα συνάρτησης της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Τοπικά ακρότατα συνάρτησης

Τοπικό μέγιστο κυβικής

Να βρείτε τη θέση και την τιμή του τοπικού μεγίστου της f(x) = x3 − 3x2 + 2.
Υποδείξεις
  • f′(x) = 3x2 − 6x = 3(x )(x − 2).
  • Μέγιστο εκεί όπου η f′ αλλάζει από + σε −.
Λύση και απάντηση
  1. f′ > 0 για x < 0, f′ < 0 στο (0, 2).
  2. Τοπικό μέγιστο στο x₀ = 0 με f(0) = 2.

Απάντηση: x₀ = 0  ·  f(x₀) = 2

Παράμετροι από ακρότατο

Η συνάρτηση f(x) = x³ + αx² + βx παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x = 1 με τιμή f(1) = −1. Να βρείτε α και β.
Υποδείξεις
  • Θεώρημα Fermat: f′(1) = 0.
  • Δύο εξισώσεις: f′(1) = 0 και f(1) = −1.
Λύση και απάντηση
  1. f′(1) = 3 + 2α + β = 0.
  2. f(1) = 1 + α + β = −1.
  3. Αφαιρούμε τη δεύτερη από την πρώτη: 2 + α = 1 ⇒ α = −1, και β = −3 − 2α = −1.
  4. (Έλεγχος: f″(1) = 6 + 2α = 4 ≠ 0, άρα πράγματι ακρότατο.)

Απάντηση: α = −1  ·  β = −1

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Τοπικό μέγιστο κυβικής · Παράμετροι από ακρότατο · Μέγιστο της xⁿe^{−x} · Βελτιστοποίηση: ορθογώνιο κάτω από παραβολή.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το θεώρημα Fermat λέει ότι αν η f έχει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο x₀ και είναι παραγωγίσιμη εκεί, τότε:

    • f(x₀) = 0
    • f′(x₀) = 0
    • f′(x₀) > 0
    • f″(x₀) = 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f′(x₀) = 0. Αναγκαία συνθήκη.

  2. Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι:

    • εσωτερικά σημεία όπου f′ = 0 ή δεν υπάρχει η f′, και τα άκρα
    • μόνο σημεία με f(x) = 0
    • μόνο σημεία με f″ = 0
    • μόνο τα άκρα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: εσωτερικά σημεία όπου f′ = 0 ή δεν υπάρχει η f′, και τα άκρα. Κρίσιμα σημεία και άκρα.

  3. Αν η f′ αλλάζει πρόσημο από + σε − στο x₀, η f έχει στο x₀:

    • κανένα ακρότατο
    • σημείο καμπής
    • τοπικό ελάχιστο
    • τοπικό μέγιστο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τοπικό μέγιστο. Αύξηση και μετά μείωση.

  4. Η f(x) = x³ στο 0:

    • έχει τοπικό ελάχιστο
    • έχει τοπικό μέγιστο
    • δεν έχει ακρότατο, αν και f′(0) = 0
    • δεν ορίζεται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν έχει ακρότατο, αν και f′(0) = 0. Η f′ = 3x² δεν αλλάζει πρόσημο.

  5. Η f(x) = x² − 6x + 5 έχει ελάχιστο στο:

    • x = 1
    • x = 3
    • x = 5
    • x = 6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 3. f′ = 2x − 6.

  6. Η f(x) = x³ − 3x έχει τοπικό μέγιστο στο:

    • x = 0
    • x = 1
    • x = 3
    • x = −1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = −1. f′ = 3x² − 3, + πριν το −1 και − μετά.

  7. Η f(x) = |x| έχει ελάχιστο στο 0, αλλά:

    • f′(0) = 0
    • f′(0) = 1
    • f′(0) = −1
    • δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί. Ακρότατο σε σημείο μη παραγωγισιμότητας.

  8. Η f(x) = xe^(−x) έχει μέγιστο στο:

    • x = 0
    • x = 1
    • x = e
    • x = −1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 1. f′ = (1 − x)e^(−x).

  9. Η ελάχιστη τιμή της f(x) = x − ln x (x > 0) είναι:

    • 0
    • 1
    • e
    • −1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 1. f′ = 1 − 1/x = 0 στο x = 1, f(1) = 1.

  10. Ολικό μέγιστο λέγεται:

    • η μεγαλύτερη τιμή της f σε όλο το πεδίο ορισμού
    • η τιμή στο 0
    • η τιμή στο άκρο
    • κάθε τοπικό μέγιστο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: η μεγαλύτερη τιμή της f σε όλο το πεδίο ορισμού. Ορισμός.

Σωστό ή Λάθος

  1. Ένα τοπικό ελάχιστο είναι πάντα μικρότερο από κάθε τοπικό μέγιστο της ίδιας συνάρτησης.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Τα τοπικά ακρότατα συγκρίνονται μόνο «τοπικά». Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο αλλού.

  2. Αν η f έχει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο x0 και είναι παραγωγίσιμη εκεί, τότε f′(x0) = 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Θεώρημα Fermat.

  3. Τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης βρίσκονται μόνο σε ρίζες της f′.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Μπορεί να βρίσκονται και σε σημεία όπου η f δεν είναι παραγωγίσιμη ή στα άκρα του πεδίου ορισμού.

  4. Η f(x) = |x| έχει ελάχιστο στο 0, αν και η f′(0) δεν υπάρχει.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Κρίσιμο σημείο χωρίς παράγωγο.

  5. Αν η f′ αλλάζει πρόσημο στο x0 από θετική σε αρνητική, τότε το x0 είναι θέση τοπικού ελαχίστου.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η f ανεβαίνει και μετά κατεβαίνει: είναι τοπικό μέγιστο.

  6. Ένα άκρο κλειστού διαστήματος μπορεί να είναι θέση τοπικού ακρότατου, ακόμα κι αν εκεί f′ ≠ 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Το Fermat αφορά μόνο εσωτερικά σημεία.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Διαφορικός λογισμός»