MathGreeceMathGreece

2.1 Η έννοια της παραγώγου

Μάθημα 2.1 Η έννοια της παραγώγου της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η έννοια της παραγώγου

Παράγωγος σε σημείο με απόλυτο

Δίνεται η f(x) = (x + 1)|x + 1| − 4x. Να βρείτε το f′(−1) με τον ορισμό.
Υποδείξεις
  • f′(−1) = limx→−1 f(x) − f(−1)x + 1.
  • Το κλάσμα γίνεται |x + 1| − 4·(x + 1)/(x + 1).
Λύση και απάντηση
  1. f(−1) = 4.
  2. f(x) − f(−1)x + 1 = |x + 1| − 4.
  3. Για x → −1: f′(−1) = 0 − 4 = −4.

Απάντηση: −4

Όριο από δεδομένη παράγωγο

Για την παραγωγίσιμη f ισχύει f(1) = 1 και f′(1) = 1. Να βρείτε το limx→1 xf(x) − 1x − 1
Υποδείξεις
  • Πρόσθεσε και αφαίρεσε xf(1) στον αριθμητή.
  • Ή: η παράσταση είναι ο ορισμός της παραγώγου της g(x) = xf(x) στο 1.
Λύση και απάντηση
  1. g(x) = xf(x), g(1) = 1.
  2. Το όριο είναι g′(1) = f(1) + f′(1) = 1 + 1 = 2.

Απάντηση: 2

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Παράγωγος σε σημείο με απόλυτο · Όριο από δεδομένη παράγωγο · Παράμετροι για παραγωγισιμότητα.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ όταν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το:

    • f(x₀)/x₀
    • lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h
    • lim(h→0) f(h)
    • lim(x→∞) f(x)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. Ορισμός.

  2. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀, τότε είναι:

    • ασυνεχής στο x₀
    • μονότονη
    • σταθερή
    • συνεχής στο x₀
    Δες την απάντηση

    Σωστό: συνεχής στο x₀. Το αντίστροφο δεν ισχύει.

  3. Η εφαπτομένη της Cf στο A(x₀, f(x₀)) έχει εξίσωση:

    • y = f(x₀)
    • y = f′(x₀)x
    • y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)
    • y − x₀ = f(x₀)(x − f′(x₀))
    Δες την απάντηση

    Σωστό: y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀). Σημείο και κλίση.

  4. Η f(x) = |x| στο 0 είναι:

    • ασυνεχής
    • παραγωγίσιμη
    • παραγωγίσιμη με f′(0) = 1
    • συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη. Πλευρικά όρια λόγου μεταβολής −1 και 1.

  5. Η f(x) = ∛x στο 0:

    • έχει f′(0) = 1
    • δεν είναι παραγωγίσιμη (κατακόρυφη εφαπτομένη)
    • είναι ασυνεχής
    • είναι παραγωγίσιμη με f′(0) = 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν είναι παραγωγίσιμη (κατακόρυφη εφαπτομένη). Ο λόγος μεταβολής τείνει στο +∞.

  6. Αν f′(x₀) = 0, η εφαπτομένη στο x₀ είναι:

    • δεν υπάρχει
    • η y = x
    • παράλληλη στον x′x
    • παράλληλη στον y′y
    Δες την απάντηση

    Σωστό: παράλληλη στον x′x. Κλίση 0.

  7. Αν f(x) = x², ο λόγος μεταβολής (f(1 + h) − f(1))/h είναι:

    • 1 + h
    • 2
    • 2 + h
    • h
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2 + h. (1 + 2h + h² − 1)/h.

  8. Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού με θέση S(t) είναι:

    • S(t)
    • S(t)/t
    • S′(t)
    • S″(t)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: S′(t). Ρυθμός μεταβολής της θέσης.

  9. Η εφαπτομένη της y = x³ στο (1, 1) έχει κλίση:

    • 0
    • 1
    • 3
    • 6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3. f′(x) = 3x².

  10. Αν η f είναι συνεχής στο x₀, τότε:

    • έχει ακρότατο
    • δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη στο x₀
    • είναι πάντα παραγωγίσιμη
    • είναι σταθερή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν είναι απαραίτητα παραγωγίσιμη στο x₀. Αντιπαράδειγμα: |x| στο 0.

Σωστό ή Λάθος

  1. Αν η f είναι συνεχής στο x0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο x0.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η |x| είναι συνεχής στο 0 αλλά όχι παραγωγίσιμη.

  2. Η f′(x0) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο (x0, f(x0)).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου.

  3. Η f(x) = |x − 1| δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Τα πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής είναι −1 και 1.

  4. Η f(x) = √x είναι παραγωγίσιμη στο 0.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. limh→0+ √hh = +∞, άρα δεν είναι παραγωγίσιμη.

  5. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε limh→0 f(x0 + h) − f(x0)h = f′(x0).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Ισοδύναμη μορφή του ορισμού.

  6. Αν f′(x0) = 0, η εφαπτομένη στο x0 είναι κατακόρυφη.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι οριζόντια (κλίση 0).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Διαφορικός λογισμός»