MathGreeceMathGreece

1.8 Συνέχεια συνάρτησης

Μάθημα 1.8 Συνέχεια συνάρτησης της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 7 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Συνέχεια συνάρτησης

Συνέχεια συνάρτησης με τρεις κλάδους

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = {αx + 6,  x < 1x² + βx,  1 ≤ x ≤ 2αx² + 22,  x > 2. Να βρείτε α και β ώστε η f να είναι συνεχής στο ℝ.
Υποδείξεις
  • Συνέχεια στο 1: τα πλευρικά όρια και η τιμή f(1) πρέπει να είναι ίσα.
  • Συνέχεια στο 2: f(2) = 4 + 2β = limx→2+ f(x) = 4α + 22.
Λύση και απάντηση
  1. Στο 1: α + 6 = 1 + β.
  2. Στο 2: 4 + 2β = 4α + 22.
  3. Από την πρώτη β = α + 5· αντικαθιστούμε: 4 + 2α + 10 = 4α + 22 ⇒ α = −4, β = 1.

Απάντηση: α = −4  ·  β = 1

Θεώρημα Bolzano: διάστημα ρίζας

Η εξίσωση x³ + 6x − 6 = 0 έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα ρ. Να βρείτε τον ακέραιο κ για τον οποίο ρ ∈ (κ, κ + 1).
Υποδείξεις
  • Η f(x) = x³ + 6x − 6 είναι γνησίως αύξουσα (f′ > 0), άρα έχει μία ρίζα.
  • Υπολόγισε f σε διαδοχικούς ακεραίους και βρες πού αλλάζει πρόσημο (Bolzano).
Λύση και απάντηση
  1. f(0) = −6 < 0.
  2. f(1) = 1 > 0.
  3. Από Bolzano η ρίζα ανήκει στο (0, 1), άρα κ = 0.

Απάντηση: 0

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Συνέχεια συνάρτησης με τρεις κλάδους · Θεώρημα Bolzano: διάστημα ρίζας · Τιμή που κάνει συνεχή συνάρτηση (ρίζα).

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η f είναι συνεχής στο x₀ ∈ Df όταν:

    • f(x₀) = 0
    • lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
    • η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀
    • το όριο είναι +∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Ορισμός.

  2. Το θεώρημα Bolzano απαιτεί η f να είναι συνεχής στο [α, β] και:

    • f(α) + f(β) = 0
    • f(α) = f(β)
    • f(α)·f(β) < 0
    • f(α)·f(β) > 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f(α)·f(β) < 0. Τότε υπάρχει ρίζα στο (α, β).

  3. Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει:

    • ακριβώς μία ρίζα
    • καμία ρίζα
    • ρίζα στο α
    • τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β). Υπαρξιακό θεώρημα.

  4. Το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών λέει ότι μια συνεχής f στο [α, β] με f(α) ≠ f(β) παίρνει:

    • άπειρες τιμές εκτός διαστήματος
    • κάθε τιμή ανάμεσα στα f(α) και f(β)
    • μόνο θετικές τιμές
    • μόνο τις τιμές f(α), f(β)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: κάθε τιμή ανάμεσα στα f(α) και f(β). Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

  5. Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής λέει ότι μια συνεχής f σε κλειστό διάστημα [α, β]:

    • έχει ρίζα
    • είναι μονότονη
    • είναι παραγωγίσιμη
    • παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Θεώρημα Weierstrass.

  6. Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω συνεχούς συνάρτησης είναι:

    • διάστημα
    • κενό σύνολο
    • πάντα κλειστό διάστημα
    • πεπερασμένο σύνολο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: διάστημα. Συνέπεια του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών.

  7. Αν μια συνεχής f δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα Δ, τότε:

    • αλλάζει πρόσημο
    • διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ
    • είναι μονότονη
    • είναι σταθερή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ. Συνέπεια του Bolzano.

  8. Η εξίσωση x³ + x − 1 = 0 στο (0, 1) έχει:

    • ακριβώς δύο ρίζες
    • καμία ρίζα
    • τουλάχιστον μία ρίζα
    • τρεις ρίζες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τουλάχιστον μία ρίζα. f(0) = −1 < 0, f(1) = 1 > 0.

  9. Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (α, β), το σύνολο τιμών της είναι:

    • (0, +∞)
    • (lim(x→α⁺) f, lim(x→β⁻) f)
    • [f(α), f(β)]
    • ℝ πάντα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: (lim(x→α⁺) f, lim(x→β⁻) f). Για ανοιχτό διάστημα χρησιμοποιούμε τα όρια στα άκρα.

  10. Η f(x) = [x] (ακέραιο μέρος) στο x₀ = 1 είναι:

    • ασυνεχής
    • παραγωγίσιμη
    • σταθερή
    • συνεχής
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ασυνεχής. Από αριστερά 0, από δεξιά 1.

Σωστό ή Λάθος

  1. Αν η |f| είναι συνεχής, τότε και η f είναι συνεχής.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η f(x) = 1 για x ≥ 0 και −1 για x < 0 έχει |f| = 1 (συνεχής), ενώ η f δεν είναι συνεχής.

  2. Αν η f είναι συνεχής, τότε και η |f| είναι συνεχής.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.

  3. Μια συνεχής συνάρτηση σε ανοικτό διάστημα έχει πάντα μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η 1x στο (0, 1) δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο. Το θεώρημα αφορά κλειστά διαστήματα.

  4. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) ≠ f(β), τότε παίρνει κάθε τιμή ανάμεσα στα f(α) και f(β).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

  5. Μια συνεχής συνάρτηση που δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα μπορεί να αλλάζει πρόσημο σε αυτό.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Αν άλλαζε πρόσημο, από το Bolzano θα μηδενιζόταν. Άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο.

  6. Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω συνεχούς, μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Συνέπεια του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών.

  7. Η f(x) = 1x είναι ασυνεχής στο 0.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η συνέχεια εξετάζεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού, και το 0 δεν ανήκει σε αυτό. Η 1x είναι συνεχής συνάρτηση.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης»