1.2 Συναρτήσεις

Μάθημα 1.2 Συναρτήσεις της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

Λυμένες ασκήσεις: Συναρτήσεις

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Σύνθεση συναρτήσεων · Συναρτησιακή σχέση f(x + κ) · Πεδίο ορισμού (πολλαπλή επιλογή).

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

1. Συνάρτηση από το Α στο ℝ είναι μια διαδικασία που αντιστοιχίζει:

   • κάθε x σε δύο αριθμούς
   • κάθε x ∈ Α σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό
   • κάθε αριθμό στο 0
   • μόνο μερικά x του Α
   Δες την απάντηση

   Σωστό: κάθε x ∈ Α σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό. Ορισμός.

2. Το πεδίο ορισμού της f(x) = ln(x − 1) είναι:

   • (0, +∞)
   • (1, +∞)
   • [1, +∞)
   • ℝ
   Δες την απάντηση

   Σωστό: (1, +∞). Πρέπει x − 1 > 0.

3. Η σύνθεση g∘f ορίζεται για τα x ∈ Df με:

   • f(x) = 0
   • f(x) ∈ Dg
   • g(x) ∈ Df
   • x ∈ Dg
   Δες την απάντηση

   Σωστό: f(x) ∈ Dg. (g∘f)(x) = g(f(x)).

4. Αν f(x) = x + 1 και g(x) = x², τότε (g∘f)(x) =

   • (x + 1)²
   • x + 1
   • x² + 1
   • x²(x + 1)
   Δες την απάντηση

   Σωστό: (x + 1)². g(f(x)) = (x + 1)².

5. Αν f(x) = x + 1 και g(x) = x², τότε (f∘g)(x) =

   • (x + 1)²
   • 2x + 1
   • x² + 1
   • x³
   Δες την απάντηση

   Σωστό: x² + 1. f(g(x)) = x² + 1.

6. Η Cf και η C(−f) είναι συμμετρικές ως προς:

   • την y = x
   • την αρχή Ο
   • τον άξονα x′x
   • τον άξονα y′y
   Δες την απάντηση

   Σωστό: τον άξονα x′x. Αλλάζει το πρόσημο της τεταγμένης.

7. Η C|f| προκύπτει από την Cf με:

   • διπλασιασμό
   • μετατόπιση προς τα πάνω
   • συμμετρία των τμημάτων κάτω από τον x′x ως προς αυτόν
   • συμμετρία ως προς τον y′y
   Δες την απάντηση

   Σωστό: συμμετρία των τμημάτων κάτω από τον x′x ως προς αυτόν. Τα αρνητικά γίνονται θετικά.

8. Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες όταν:

   • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και f(x) = g(x) για κάθε x ∈ Α
   • έχουν το ίδιο σύνολο τιμών
   • έχουν τον ίδιο τύπο
   • τέμνονται σε ένα σημείο
   Δες την απάντηση

   Σωστό: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και f(x) = g(x) για κάθε x ∈ Α. Ορισμός ισότητας.

9. Οι f(x) = x και g(x) = x²/x είναι:

   • ίσες
   • ίσες μόνο για x > 0
   • αντίστροφες
   • διαφορετικές, γιατί έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού
   Δες την απάντηση

   Σωστό: διαφορετικές, γιατί έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού. Η g δεν ορίζεται στο 0.

10. Η Cf με f(x) = |x − 1| έχει κορυφή στο σημείο:

    • (0, 0)
    • (0, 1)
    • (1, 0)
    • (−1, 0)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: (1, 0). Μετατόπιση της |x| κατά 1 δεξιά.

Σωστό ή Λάθος

1. Οι συναρτήσεις f(x) = ln(x²) και g(x) = 2ln x είναι ίσες.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Η f ορίζεται στο ℝ*, η g μόνο στο (0, +∞). Διαφορετικά πεδία ορισμού ⇒ όχι ίσες.

2. Η f ∘ g ορίζεται όταν το σύνολο {x ∈ D_g : g(x) ∈ D_f} είναι μη κενό.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Αυτό είναι το πεδίο ορισμού της f ∘ g.

3. Για κάθε f, g ισχύει f ∘ g = g ∘ f.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. Η σύνθεση δεν είναι αντιμεταθετική: για f(x) = x², g(x) = x + 1 βγαίνει (x + 1)² ≠ x² + 1.

4. (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h), όταν ορίζονται.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Η σύνθεση είναι προσεταιριστική.

5. Αν f(x) = √x και g(x) = x − 4, το πεδίο ορισμού της f ∘ g είναι το ℝ.

   Δες την απάντηση

   Λάθος. f(g(x)) = √(x − 4), άρα x ≥ 4.

6. Η γραφική παράσταση της −f είναι συμμετρική της C_f ως προς τον άξονα x′x.

   Δες την απάντηση

   Σωστό. Το σημείο (x, f(x)) πηγαίνει στο (x, −f(x)).

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης»

• 1.1 Πραγματικοί αριθμοί
• 1.3 Μονότονες συναρτήσεις – Αντίστροφη συνάρτηση
• 1.4 Όριο συνάρτησης στο x₀ ∈ ℝ
• 1.5 Ιδιότητες των ορίων
• 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο x₀ ∈ ℝ
• 1.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο
• 1.8 Συνέχεια συνάρτησης