MathGreeceMathGreece

1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο x₀ ∈ ℝ

Μάθημα 1.6 Μη πεπερασμένο όριο στο x₀ ∈ ℝ της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μη πεπερασμένο όριο στο x₀ ∈ ℝ

Πρόσημο απείρου

Να βρείτε το limx→3 x² − 5(x − 3)²
  1. +∞
  2. −∞
  3. 0
  4. δεν υπάρχει
Υποδείξεις
  • Ο αριθμητής τείνει στο 4 ≠ 0, ο παρονομαστής στο 0.
  • Κοίτα το πρόσημο του παρονομαστή κοντά στο 3.
Λύση και απάντηση
  1. Αριθμητής → 4.
  2. (x − 3)² → 0+.
  3. Άρα το όριο είναι +∞.

Απάντηση: +∞

Μορφή ∞ − ∞ κοντά στο 0

Να υπολογίσετε το limx→0 (1x − 6x² + 6x)
Υποδείξεις
  • Κάνε ομώνυμα: x² + 6x = x(x + 6).
  • Ο αριθμητής γίνεται x + 6 − 6 = x.
Λύση και απάντηση
  1. 1x − 6x(x + 6) = x + 6 − 6x(x + 6) = 1x + 6.
  2. Για x → 0: 16.

Απάντηση: 16

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Πρόσημο απείρου · Μορφή ∞ − ∞ κοντά στο 0 · Κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το lim(x→0) 1/x² είναι:

    • +∞
    • 0
    • δεν υπάρχει
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. Θετικός παρονομαστής που τείνει στο 0.

  2. Το lim(x→0⁺) 1/x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. Από δεξιά ο x είναι θετικός.

  3. Το lim(x→0⁻) 1/x είναι:

    • +∞
    • 0
    • −1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −∞. Από αριστερά ο x είναι αρνητικός.

  4. Το lim(x→0) 1/x:

    • δεν υπάρχει
    • είναι +∞
    • είναι 0
    • είναι −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν υπάρχει. Τα πλευρικά όρια διαφέρουν.

  5. Το lim(x→0⁺) ln x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −∞. Βασικό όριο.

  6. Αν lim f = +∞ και lim g = +∞, τότε lim (f + g) =

    • +∞
    • 0
    • δεν ορίζεται
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. Άθροισμα θετικών απείρων.

  7. Η μορφή (+∞) − (+∞) λέγεται:

    • απροσδιόριστη
    • πάντα +∞
    • πάντα 0
    • πάντα −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: απροσδιόριστη. Χρειάζεται επιπλέον επεξεργασία.

  8. Αν lim f(x) = +∞, τότε lim 1/f(x) =

    • +∞
    • 0
    • 1
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Αντίστροφο απείρου.

  9. Το lim(x→1) 1/(x − 1)² είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. Ο παρονομαστής θετικός, τείνει στο 0.

  10. Το lim(x→(π/2)⁻) εφx είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. ημx → 1, συνx → 0⁺.

Σωστό ή Λάθος

  1. limx→0 1x = +∞.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Από αριστερά το όριο είναι −∞ και από δεξιά +∞, άρα το όριο δεν υπάρχει.

  2. limx→0 1x2 = +∞.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Ο παρονομαστής είναι θετικός και τείνει στο 0 και από τις δύο μεριές.

  3. Αν limx→x0 f(x) = +∞ και limx→x0 g(x) = −∞, τότε limx→x0 (f(x) + g(x)) = 0.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η μορφή (+∞) + (−∞) είναι απροσδιόριστη και μπορεί να δώσει οτιδήποτε.

  4. Αν limx→x0 f(x) = +∞, τότε limx→x0 1f(x) = 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Βασική ιδιότητα των μη πεπερασμένων ορίων.

  5. Αν limx→x0 f(x) = 0, τότε limx→x0 1f(x) = +∞.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Χρειάζεται f(x) > 0 κοντά στο x0. Αλλιώς μπορεί να είναι −∞ ή να μην υπάρχει (π.χ. f(x) = x).

  6. Αν limx→x0 f(x) = +∞ και η g είναι κάτω φραγμένη κοντά στο x0, τότε limx→x0 (f(x) + g(x)) = +∞.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. f + g ≥ f + m → +∞.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης»