1.1 Πραγματικοί αριθμοί
Μάθημα 1.1 Πραγματικοί αριθμοί της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Πραγματικοί αριθμοί
Εξίσωση με δύο απόλυτες τιμές
Υποδείξεις
- Χώρισε τον άξονα στα σημεία −2 και 2 και λύσε σε κάθε διάστημα χωρίς απόλυτα.
- Στο [−2, 2] το άθροισμα είναι σταθερό και ίσο με 4 ≠ 10.
Λύση και απάντηση
- Για x < −2: −(x + 2) − (x − 2) = 10 ⇒ −2x + 0 = 10 ⇒ x = −5 (δεκτή, αφού −5 < −2).
- Για −2 ≤ x ≤ 2: (x + 2) − (x − 2) = 4 ≠ 10, αδύνατη.
- Για x > 2: 2x − 0 = 10 ⇒ x = 5 (δεκτή).
Απάντηση: −5 ή 5
Ελάχιστη τιμή αθροίσματος αποστάσεων
Υποδείξεις
- Το |x − α| είναι η απόσταση του x από το α πάνω στον άξονα.
- Το άθροισμα αποστάσεων γίνεται ελάχιστο όταν το x είναι στη διάμεσο των σημείων.
Λύση και απάντηση
- Τα σημεία είναι −5, 5, 11.
- Η ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται για x = 5 (μεσαίο σημείο).
- f(5) = 10 + 0 + 6 = 16.
Απάντηση: 16
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εξίσωση με δύο απόλυτες τιμές · Ελάχιστη τιμή αθροίσματος αποστάσεων · Άρρητη εξίσωση με απόρριψη ρίζας.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Το σύνολο ℚ των ρητών αριθμών είναι:
- ίσο με το ℝ
- ξένο προς το ℝ
- υποσύνολο του ℕ
- υποσύνολο του ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: υποσύνολο του ℝ. ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.
Ο αριθμός √2 είναι:
- άρρητος
- ακέραιος
- ρητός
- φυσικός
Δες την απάντηση
Σωστό: άρρητος. Δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων.
Το διάστημα [α, β) περιέχει:
- και τα δύο άκρα
- κανένα άκρο
- το α αλλά όχι το β
- το β αλλά όχι το α
Δες την απάντηση
Σωστό: το α αλλά όχι το β. Κλειστό αριστερά, ανοιχτό δεξιά.
Η ανισότητα |x − 2| < 3 ισοδυναμεί με:
- x < 5
- x > −1
- −1 < x < 5
- −3 < x < 3
Δες την απάντηση
Σωστό: −1 < x < 5. −3 < x − 2 < 3.
Για κάθε x ∈ ℝ ισχύει √(x²) =
- x
- x²
- |x|
- −x
Δες την απάντηση
Σωστό: |x|. Η ρίζα είναι μη αρνητική.
Για κάθε α, β ισχύει |α + β|:
- = |α| + |β| πάντα
- = |α| − |β|
- ≤ |α| + |β|
- ≥ |α| + |β|
Δες την απάντηση
Σωστό: ≤ |α| + |β|. Τριγωνική ανισότητα.
Το σύνολο λύσεων της |x| ≥ 2 είναι:
- (−2, 2)
- (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
- [2, +∞)
- [−2, 2]
Δες την απάντηση
Σωστό: (−∞, −2] ∪ [2, +∞). x ≤ −2 ή x ≥ 2.
Αν 0 < α < β, τότε:
- 1/α < 1/β
- 1/α = 1/β
- 1/α > 1/β
- α² > β²
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/α > 1/β. Αντιστροφή ομόσημων θετικών.
Ο αριθμός π είναι:
- άρρητος
- ίσος με 22/7
- ακέραιος
- ρητός
Δες την απάντηση
Σωστό: άρρητος. Το 22/7 είναι μόνο προσέγγιση.
Ανάμεσα σε δύο οποιουσδήποτε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς υπάρχει:
- άπειρο πλήθος ρητών
- ακριβώς ένας ρητός
- κανένας ρητός
- μόνο άρρητοι
Δες την απάντηση
Σωστό: άπειρο πλήθος ρητών. Πυκνότητα των ρητών στο ℝ.
Σωστό ή Λάθος
Ο αριθμός 2 ανήκει στο διάστημα (2, 5].
Δες την απάντηση
Λάθος. Η παρένθεση σημαίνει ότι το 2 δεν ανήκει. Ανήκουν οι x με 2 < x ≤ 5.
Κάθε διάστημα (α, β) με α < β περιέχει άπειρους ρητούς και άπειρους άρρητους αριθμούς.
Δες την απάντηση
Σωστό. Οι ρητοί και οι άρρητοι είναι «πυκνοί» στο ℝ.
|x| < 3 ⇔ x < 3.
Δες την απάντηση
Λάθος. |x| < 3 ⇔ −3 < x < 3. Π.χ. x = −5 ικανοποιεί το x < 3 αλλά όχι το |x| < 3.
Για κάθε x ∈ ℝ ισχύει −|x| ≤ x ≤ |x|.
Δες την απάντηση
Σωστό. Αν x ≥ 0 τότε x = |x|, ενώ αν x < 0 τότε x = −|x|.
(−∞, 1) ∪ (1, +∞) = ℝ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Λείπει το 1: είναι το ℝ − {1}.
√(α2) = |α| για κάθε α ∈ ℝ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Η τετραγωνική ρίζα δίνει πάντα μη αρνητικό αποτέλεσμα.
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.