1.4 Όριο συνάρτησης στο x₀ ∈ ℝ

Μάθημα 1.4 Όριο συνάρτησης στο x₀ ∈ ℝ της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Όριο συνάρτησης στο x₀ ∈ ℝ

Όριο μορφής 0/0 με παραγοντοποίηση

Να υπολογίσετε το lim_x→4 x² − x − 12x² − 2x − 8

Υποδείξεις

Για x = 4 αριθμητής και παρονομαστής μηδενίζονται: μορφή 0/0.
Παραγοντοποίησε· ο κοινός παράγοντας (x − 4) απλοποιείται.

Λύση και απάντηση

Αριθμητής: x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3).
Παρονομαστής: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2).
Απλοποιούμε και βάζουμε x = 4: 76.

Απάντηση: 76

Όριο με ρίζα (συζυγής παράσταση)

Να υπολογίσετε το lim_x→8 √(x + 8) − 4x − 8

Υποδείξεις

Πολλαπλασίασε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση √(x + 8) + 4.
(√u − 4)(√u + 4) = u − 16.

Λύση και απάντηση

(√(x + 8) − 4)(√(x + 8) + 4) = x + 8 − 16 = x − 8.
Μένει 1√(x + 8) + 4.
Για x → 8: 18.

Απάντηση: 18

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Όριο μορφής 0/0 με παραγοντοποίηση · Όριο με ρίζα (συζυγής παράσταση) · Πλευρικά όρια με απόλυτη τιμή.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Το lim(x→x₀) f(x) εξαρτάται από:
- μόνο από την τιμή f(x₀)
- την f′(x₀)
- την τιμή της f στο 0
- τις τιμές της f κοντά στο x₀
Δες την απάντηση
Σωστό: τις τιμές της f κοντά στο x₀. Η f μπορεί να μην ορίζεται στο x₀.
Το lim(x→x₀) f(x) = ℓ υπάρχει αν και μόνο αν:
- f(x₀) = ℓ
- η f είναι αύξουσα
- τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα με ℓ
- υπάρχει μόνο το όριο από αριστερά
Δες την απάντηση
Σωστό: τα πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα με ℓ. Ισότητα πλευρικών ορίων.
Για την f(x) = |x|/x, το lim(x→0) f(x):
- δεν υπάρχει
- είναι 0
- είναι 1
- είναι −1
Δες την απάντηση
Σωστό: δεν υπάρχει. Από δεξιά 1, από αριστερά −1.
Το lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2) είναι:
- 0
- 2
- 4
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. x + 2 → 4.
Αν f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και υπάρχουν τα όρια, τότε:
- lim f(x) = lim g(x)
- lim f(x) > lim g(x)
- lim f(x) ≤ lim g(x)
- δεν συμπεραίνουμε τίποτα
Δες την απάντηση
Σωστό: lim f(x) ≤ lim g(x). Διάταξη ορίων.
Το κριτήριο παρεμβολής λέει ότι αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) και lim h = lim g = ℓ, τότε:
- lim f(x) = 0
- lim f(x) = 2ℓ
- lim f(x) = ℓ
- το lim f(x) δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: lim f(x) = ℓ. Θεώρημα παρεμβολής.
Το lim(x→0) ημx/x είναι:
- +∞
- 0
- 1
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. Βασικό όριο.
Το lim(x→0) (συνx − 1)/x είναι:
- 0
- 1
- δεν υπάρχει
- −1
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. Βασικό όριο.
Το lim(x→0) x·ημ(1/x) είναι:
- +∞
- 0
- 1
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. −|x| ≤ x·ημ(1/x) ≤ |x|, παρεμβολή.
Αν lim(x→x₀) f(x) = ℓ > 0, τότε κοντά στο x₀:
- f(x) < 0
- f(x) = 0
- f(x) = ℓ
- f(x) > 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x) > 0. Διατήρηση προσήμου.

Σωστό ή Λάθος

Για να υπάρχει το lim_x→x₀ f(x) πρέπει η f να ορίζεται στο x₀.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δεν χρειάζεται. Π.χ. lim_x→0 ημxx = 1, ενώ η συνάρτηση δεν ορίζεται στο 0.
Αν υπάρχει το lim_x→x₀ f(x), τότε είναι μοναδικό.
Δες την απάντηση
Σωστό. Μοναδικότητα του ορίου.
lim_x→x₀ f(x) = ℓ αν και μόνο αν τουλάχιστον ένα από τα πλευρικά όρια ισούται με ℓ.
Δες την απάντηση
Λάθος. Πρέπει και τα δύο πλευρικά όρια να υπάρχουν και να ισούνται με ℓ.
Αν lim_x→x₀ f(x) = ℓ > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀.
Δες την απάντηση
Σωστό. Διατήρηση του προσήμου κοντά στο x₀.
Αν f(x) > 0 κοντά στο x₀ και υπάρχει το όριο, τότε lim_x→x₀ f(x) > 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Μπορεί να είναι 0: π.χ. f(x) = x² κοντά στο 0 (x ≠ 0). Ισχύει μόνο ότι το όριο είναι ≥ 0.
lim_x→x₀ f(x) = ℓ ⇔ lim_x→x₀ (f(x) − ℓ) = 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ισοδύναμη διατύπωση του ορίου.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.