1.3 Μονότονες συναρτήσεις – Αντίστροφη συνάρτηση

Μάθημα 1.3 Μονότονες συναρτήσεις – Αντίστροφη συνάρτηση της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 7 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Μονότονες συναρτήσεις – Αντίστροφη συνάρτηση

Τιμή της αντίστροφης

Δίνεται η f(x) = x³ + 3x . Να δείξετε (για τον εαυτό σας) ότι είναι 1–1 και να βρείτε το f⁻¹(−14).

Υποδείξεις

f′(x) = 3x² + 3 > 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, επομένως 1–1.
f⁻¹(−14) = x ⇔ f(x) = −14. Δοκίμασε μικρούς ακεραίους.

Λύση και απάντηση

Η f είναι γνησίως αύξουσα (f′(x) = 3x² + 3 > 0), άρα 1–1 και αντιστρέψιμη.
Λύνουμε f(x) = −14 ⇔ x³ + 3x + 14 = 0.
Με δοκιμή: x = −2 είναι ρίζα, και είναι μοναδική λόγω μονοτονίας.
Άρα f⁻¹(−14) = −2.

Απάντηση: −2

Ανίσωση με τη βοήθεια μονοτονίας

Η συνάρτηση f(x) = e^x + x³ + x είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ. Να λύσετε την ανίσωση f(x² − 4) < f(3x). Η λύση είναι διάστημα (α, β): δώσε α και β.

Υποδείξεις

Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα: f(u) < f(v) ⇔ u < v.
Καταλήγεις σε δευτεροβάθμια ανίσωση· βρες ρίζες και πρόσημο.

Λύση και απάντηση

f γνησίως αύξουσα ⇒ x² − 4 < 3x ⇔ x² − 3x − 4 < 0.
Ρίζες τριωνύμου: −1 και 4.
Το τριώνυμο είναι αρνητικό ανάμεσα στις ρίζες: x ∈ (−1, 4).

Απάντηση: α = −1 · β = 4

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Τιμή της αντίστροφης · Ανίσωση με τη βοήθεια μονοτονίας · Τύπος της αντίστροφης ομογραφικής.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Μια συνάρτηση λέγεται 1−1 όταν για x₁ ≠ x₂ ισχύει:
- f(x₁) + f(x₂) = 0
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≠ f(x₂)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) ≠ f(x₂). Ορισμός.
Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι:
- 1−1
- άρτια
- περιοδική
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: 1−1. Διαφορετικά x δίνουν διαφορετικές τιμές.
Μια συνάρτηση αντιστρέφεται αν και μόνο αν είναι:
- 1−1
- γνησίως αύξουσα
- παραγωγίσιμη
- συνεχής
Δες την απάντηση
Σωστό: 1−1. Το αντίστροφο του «γνησίως μονότονη ⇒ 1−1» δεν ισχύει πάντα.
Οι γραφικές παραστάσεις της f και της f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς:
- την αρχή Ο
- την ευθεία y = x
- τον άξονα x′x
- τον άξονα y′y
Δες την απάντηση
Σωστό: την ευθεία y = x. Εναλλάσσονται τα x και y.
Αν f(x) = 2x + 3, τότε f⁻¹(x) =
- (x + 3)/2
- (x − 3)/2
- 1/(2x + 3)
- 2x − 3
Δες την απάντηση
Σωστό: (x − 3)/2. y = 2x + 3 ⇒ x = (y − 3)/2.
Η αντίστροφη της f(x) = e^x είναι:
- 1/e^x
- e^(−x)
- ln x
- x^e
Δες την απάντηση
Σωστό: ln x. Η ln είναι η αντίστροφη της εκθετικής.
Ισχύει f⁻¹(f(x)) =
- 0
- 1
- f(x)
- x, για κάθε x ∈ Df
Δες την απάντηση
Σωστό: x, για κάθε x ∈ Df. Ιδιότητα αντίστροφης.
Η f(x) = x² στο ℝ:
- αντιστρέφεται
- δεν είναι 1−1
- είναι 1−1
- είναι γνησίως αύξουσα
Δες την απάντηση
Σωστό: δεν είναι 1−1. f(−1) = f(1).
Η f(x) = x³ είναι:
- γνησίως αύξουσα, άρα 1−1
- γνησίως φθίνουσα
- σταθερή
- όχι 1−1
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως αύξουσα, άρα 1−1. Για x₁ < x₂ ισχύει x₁³ < x₂³.
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε f(x₁) < f(x₂) ⇔
- x₁ < x₂
- x₁ = x₂
- x₁ > x₂
- x₁x₂ < 0
Δες την απάντηση
Σωστό: x₁ < x₂. Ισοδυναμία που λύνει ανισώσεις.

Σωστό ή Λάθος

Κάθε συνάρτηση 1–1 είναι γνησίως μονότονη.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η f(x) = 1x είναι 1–1 στο ℝ* χωρίς να είναι γνησίως μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού.
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε f(x₁) < f(x₂) ⇔ x₁ < x₂.
Δες την απάντηση
Σωστό. Ισχύει και προς τις δύο κατευθύνσεις (η μονοτονία «αντιστρέφεται»).
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η g γνησίως φθίνουσα, τότε η f ∘ g είναι γνησίως αύξουσα.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι γνησίως φθίνουσα: η g αντιστρέφει τη διάταξη και η f τη διατηρεί.
Οι C_f και C_f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.
Δες την απάντηση
Σωστό. Το (α, β) ανήκει στη C_f ⇔ το (β, α) ανήκει στη C_f⁻¹.
Τα κοινά σημεία των C_f και C_f⁻¹ βρίσκονται πάντα πάνω στην ευθεία y = x.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισχύει αν η f είναι γνησίως αύξουσα. Η f(x) = −x ταυτίζεται με την αντίστροφή της, άρα έχουν κοινά όλα τα σημεία, και τα περισσότερα δεν είναι στην y = x.
Αν η f είναι 1–1, η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα.
Δες την απάντηση
Σωστό. Δύο ρίζες θα έδιναν f(x₁) = f(x₂) με x₁ ≠ x₂.
Αν μια συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο, τότε έχει και ολικό ελάχιστο.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η f(x) = −x² έχει μέγιστο 0 αλλά κανένα ελάχιστο.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.