1.5 Ιδιότητες των ορίων

Μάθημα 1.5 Ιδιότητες των ορίων της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ιδιότητες των ορίων

Τριγωνομετρικό όριο

Να υπολογίσετε το lim_x→0 1 − συν(4x)x²

Υποδείξεις

1 − συν(2θ) = 2ημ²θ.
Γράψε 1 − συν(4x) = 2ημ²(2x).

Λύση και απάντηση

1 − συν(4x) = 2ημ²(2x).
2ημ²(2x)/x² = 2·[ημ(2x)/x]² → 2·(2)² = 8.

Απάντηση: 8

Όριο από δεδομένο όριο

Για μια συνάρτηση f ισχύει lim_x→1 f(x) + 2x − 1 = −1. Να βρείτε το lim_x→1 f(x)² − 4x² − 1.

Υποδείξεις

Θέσε g(x) = f(x) + 2x − 1. Τότε f(x) = −2 + (x − 1)g(x) → −2.
f² − 4 = (f − −2)(f + −2) και x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

Λύση και απάντηση

Από τη σχέση: f(x) → −2 όταν x → 1.
Το κλάσμα γράφεται f(x) + 2x − 1 · f(x) − 2x + 1.
Όριο: −1 · −42 = 2.

Απάντηση: 2

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Τριγωνομετρικό όριο · Όριο από δεδομένο όριο · Παράμετροι ώστε το όριο να υπάρχει.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αν lim f = 2 και lim g = 3 (στο x₀), τότε lim (f + g) =
- 1
- 2/3
- 5
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. Όριο αθροίσματος.
Αν lim f = 2 και lim g = 3, τότε lim (f/g) =
- 2/3
- 3/2
- 5
- 6
Δες την απάντηση
Σωστό: 2/3. Όριο πηλίκου, με όριο παρονομαστή ≠ 0.
Αν lim f(x) = 4, τότε lim √(f(x)) =
- 16
- 2
- 4
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 2. Όριο ρίζας.
Το lim(x→1) (x³ + 2x) είναι:
- 0
- 1
- 2
- 3
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. Αντικατάσταση.
Το lim(x→3) (x − 3)/(√(x + 1) − 2) είναι:
- 0
- 1/4
- 2
- 4
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. Πολλαπλασιάζουμε με συζυγή: √(x + 1) + 2 → 4.
Το lim(x→0) ημ(3x)/x είναι:
- 0
- 1
- 1/3
- 3
Δες την απάντηση
Σωστό: 3. 3·ημ(3x)/(3x) → 3.
Το lim(x→0) εφx/x είναι:
- +∞
- 0
- 1
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. (ημx/x)·(1/συνx) → 1.
Αν lim f(x) = 0 και η g είναι φραγμένη κοντά στο x₀, τότε lim (f·g) =
- +∞
- 0
- 1
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. Μέσω παρεμβολής.
Το όριο σύνθετης συνάρτησης lim f(g(x)) υπολογίζεται με:
- αλλαγή μεταβλητής u = g(x)
- μόνο με πίνακα τιμών
- ολοκλήρωση
- παραγώγιση
Δες την απάντηση
Σωστό: αλλαγή μεταβλητής u = g(x). Θέτουμε u = g(x) και βρίσκουμε το u₀.
Το lim(x→0) ημ²x/x² είναι:
- 0
- 1
- 2
- δεν υπάρχει
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. (ημx/x)² → 1.

Σωστό ή Λάθος

Αν υπάρχει το lim_x→x₀ (f(x) + g(x)), τότε υπάρχουν και τα όρια των f και g.
Δες την απάντηση
Λάθος. f(x) = ημ1x, g(x) = −ημ1x στο 0: το άθροισμα είναι 0, ενώ κανένα όριο δεν υπάρχει.
Αν lim_x→x₀ f(x) = 0 και η g είναι φραγμένη κοντά στο x₀, τότε lim_x→x₀ f(x)g(x) = 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. |f · g| ≤ M|f| → 0 (κριτήριο παρεμβολής).
lim_x→0 ημxx = 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Είναι το βασικό τριγωνομετρικό όριο: ισούται με 1.
lim_x→0 συνx − 1x = 0.
Δες την απάντηση
Σωστό. Βασικό τριγωνομετρικό όριο.
Αν f(x) < g(x) κοντά στο x₀ και υπάρχουν τα όρια, τότε lim_x→x₀ f(x) < lim_x→x₀ g(x).
Δες την απάντηση
Λάθος. Η γνήσια ανισότητα γίνεται ≤ στο όριο: π.χ. 0 < x² κοντά στο 0, αλλά τα όρια είναι ίσα.
Αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και lim_x→x₀ h(x) = lim_x→x₀ g(x) = ℓ, τότε lim_x→x₀ f(x) = ℓ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Κριτήριο παρεμβολής.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.