MathGreeceMathGreece

1.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Μάθημα 1.7 Όριο συνάρτησης στο άπειρο της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 7 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Όριο συνάρτησης στο άπειρο

Ρίζα μείον x στο άπειρο

Να υπολογίσετε το limx→+∞ √(x2 + 3x − 4) − x
Υποδείξεις
  • Πολλαπλασίασε και διαίρεσε με τη συζυγή παράσταση.
  • Βγάλε κοινό παράγοντα x στον παρονομαστή.
Λύση και απάντηση
  1. Συζυγής: √(…) + x. Ο αριθμητής γίνεται 3x − 4.
  2. Παρονομαστής ≈ x(√(1 + …) + 1) ≈ 2x, οπότε όριο 32.

Απάντηση: 32

Ρητή με ρίζα στο −∞

Να υπολογίσετε το limx→−∞ √(4x² + 2) − 3x2x + 1
Υποδείξεις
  • Για x → −∞: √(4x² + 2) = |x|√(4 + 2/x²) = −x√(…).
  • Διαίρεσε αριθμητή και παρονομαστή με x.
Λύση και απάντηση
  1. √(4x² + 2) = −x·√(4 + 2x²).
  2. Αριθμητής = x(−√(4 + 2x²) − 3), παρονομαστής = x(2 + 1x).
  3. Όριο: −2 − 32 = −52.

Απάντηση: −52

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Ρίζα μείον x στο άπειρο · Ρητή με ρίζα στο −∞ · Εκθετικό και λογάριθμος στο +∞.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το lim(x→+∞) 1/x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Βασικό όριο.

  2. Το lim(x→+∞) (3x² + 1)/(x² − 5) είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • 3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3. Λόγος μεγιστοβάθμιων συντελεστών.

  3. Το lim(x→+∞) (2x + 1)/(x² + 1) είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Ο βαθμός του παρονομαστή είναι μεγαλύτερος.

  4. Το lim(x→−∞) (x³ − x) είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −∞. Συμπεριφέρεται όπως ο x³.

  5. Το lim(x→+∞) e^x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • e
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. Η εκθετική αυξάνει απεριόριστα.

  6. Το lim(x→−∞) e^x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Βασικό όριο.

  7. Το lim(x→+∞) ημx/x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. |ημx/x| ≤ 1/x → 0.

  8. Το lim(x→+∞) ημx:

    • δεν υπάρχει
    • είναι +∞
    • είναι 0
    • είναι 1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν υπάρχει. Ταλαντεύεται μεταξύ −1 και 1.

  9. Το lim(x→+∞) (√(x² + x) − x) είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • 1/2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 1/2. x/(√(x² + x) + x) → 1/2.

  10. Το lim(x→+∞) ln x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. Αυξάνει απεριόριστα.

Σωστό ή Λάθος

  1. limx→+∞ ημx = 0.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Το ημx ταλαντεύεται μεταξύ −1 και 1 και δεν έχει όριο στο +∞.

  2. limx→+∞ ημxx = 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. |ημxx| ≤ 1x → 0.

  3. limx→−∞ ex = −∞.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι 0, αφού ex > 0 και η καμπύλη πλησιάζει τον x′x.

  4. limx→+∞ ln x = +∞.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Η ln x είναι γνησίως αύξουσα και μη φραγμένη.

  5. limx→−∞ x2 − xx + 1 = +∞.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Ισούται με limx→−∞ x2x = limx→−∞ x = −∞.

  6. limx→+∞ (√(x2 + 1) − x) = 0.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Με συζυγή: 1√(x2 + 1) + x → 0.

  7. Για κάθε φυσικό ν ≥ 1 ισχύει limx→−∞ xν = −∞.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Για άρτιο ν είναι +∞.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Όριο – Συνέχεια συνάρτησης»