2.9 Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital

Μάθημα 2.9 Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital

Πλάγια ασύμπτωτη ρητής

Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη y = λx + β της f(x) = x² − 2xx − 4 στο +∞.

Υποδείξεις

λ = lim f(x)/x.
β = lim [f(x) − λx].

Λύση και απάντηση

λ = lim x² − 2xx² − 4x = 1.
f(x) − 1x = 2xx − 4 → 2.
Ασύμπτωτη: y = x + 2.

Απάντηση: λ = 1 · β = 2

Κανόνας de l’Hospital

Να υπολογίσετε το lim_x→0 e^x − 1 − xx²

Υποδείξεις

Μορφή 0/0: εφάρμοσε de l’Hospital.
Μετά την πρώτη εφαρμογή είναι πάλι 0/0· εφάρμοσε ξανά.

Λύση και απάντηση

1η: 1e^1x − 12x (πάλι 0/0).
2η: 1e^1x2 → 12.

Απάντηση: 12

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Πλάγια ασύμπτωτη ρητής · Κανόνας de l’Hospital · Όριο με λογάριθμο (de l’Hospital).

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η ευθεία x = x₀ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf αν:
- f(x₀) = 0
- f′(x₀) = 0
- lim(x→+∞) f(x) = x₀
- ένα πλευρικό όριο στο x₀ είναι +∞ ή −∞
Δες την απάντηση
Σωστό: ένα πλευρικό όριο στο x₀ είναι +∞ ή −∞. Ορισμός.
Η ευθεία y = ℓ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ αν:
- f(ℓ) = 0
- f′(ℓ) = 0
- lim(x→+∞) f(x) = ℓ
- lim(x→ℓ) f(x) = +∞
Δες την απάντηση
Σωστό: lim(x→+∞) f(x) = ℓ. Ορισμός.
Η y = λx + β είναι πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ όταν λ =
- f′(0)
- lim(x→+∞) f(x)
- lim(x→+∞) f(x)/x
- lim(x→0) f(x)/x
Δες την απάντηση
Σωστό: lim(x→+∞) f(x)/x. Και β = lim(x→+∞) (f(x) − λx).
Η f(x) = 1/(x − 2) έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την:
- x = 0
- x = 2
- y = 0
- y = 2
Δες την απάντηση
Σωστό: x = 2. Ο παρονομαστής μηδενίζεται στο 2.
Η f(x) = (2x + 1)/(x − 1) έχει οριζόντια ασύμπτωτη την:
- x = 1
- y = 0
- y = 1
- y = 2
Δες την απάντηση
Σωστό: y = 2. Λόγος μεγιστοβάθμιων συντελεστών.
Ο κανόνας de l'Hospital εφαρμόζεται σε μορφές:
- 0/0 και ∞/∞
- 0·1
- 1/0
- 2/3
Δες την απάντηση
Σωστό: 0/0 και ∞/∞. Απροσδιόριστες μορφές πηλίκου.
Το lim(x→0) (e^x − 1)/x είναι:
- +∞
- 0
- 1
- e
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. De l'Hospital: e^x/1 → 1.
Το lim(x→+∞) x/e^x είναι:
- +∞
- 0
- 1
- e
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. De l'Hospital: 1/e^x → 0.
Το lim(x→+∞) ln x/x είναι:
- +∞
- 0
- 1
- −∞
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. De l'Hospital: (1/x)/1 → 0.
Η f(x) = x + 1/x έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +∞ την:
- x = 0
- y = 0
- y = 1
- y = x
Δες την απάντηση
Σωστό: y = x. f(x) − x = 1/x → 0.

Σωστό ή Λάθος

Η C_f μπορεί να τέμνει μια οριζόντια ασύμπτωτή της το πολύ μία φορά.
Δες την απάντηση
Λάθος. Η ημxx έχει ασύμπτωτη τη y = 0 στο +∞ και την τέμνει άπειρες φορές.
Η y = 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της ημxx στο +∞.
Δες την απάντηση
Σωστό. Το όριο στο +∞ είναι 0.
Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ≥ 2 έχει πλάγια ασύμπτωτη.
Δες την απάντηση
Λάθος. Δεν έχει: π.χ. x²x = x → +∞, άρα δεν υπάρχει πεπερασμένο λ.
Αν lim_x→x₀⁺ f(x) = +∞, η ευθεία x = x₀ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.
Δες την απάντηση
Σωστό. Αρκεί ένα πλευρικό όριο να είναι ±∞.
Με τον κανόνα De L’Hospital, lim fg = lim f′g′ πάντα όταν υπάρχει το δεύτερο όριο.
Δες την απάντηση
Λάθος. Απαιτείται απροσδιοριστία 00 ή ±∞±∞.
lim_x→+∞ x + ημxx = 1, αν και ο κανόνας De L’Hospital δεν εφαρμόζεται εδώ.
Δες την απάντηση
Σωστό. Το lim_x→+∞ (1 + συνx) δεν υπάρχει. Υπολογίζουμε απευθείας: 1 + ημxx → 1.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.