3.7 Εμβαδόν επίπεδου χωρίου
Μάθημα 3.7 Εμβαδόν επίπεδου χωρίου της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ολοκληρωτικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.
Λυμένες ασκήσεις: Εμβαδόν επίπεδου χωρίου
Εμβαδόν ανάμεσα σε παραβολή και ευθεία
Υποδείξεις
- Σημεία τομής: x² = −1x ⇔ x = 0 ή x = −1.
- E = ∫|−1x − x²|dx ανάμεσα στις τομές.
Λύση και απάντηση
- Τομές: 0 και −1.
- E = |∫0−1(−1x − x²)dx| = |−1³|/6 = 16.
Απάντηση: 16
Εμβαδόν κάτω από παραβολή
Υποδείξεις
- Ρίζες: 1 και 4. Ανάμεσά τους η συνάρτηση είναι θετική.
- Χρήσιμο: ∫ρ₁ρ₂(x − ρ₁)(ρ₂ − x)dx = (ρ₂ − ρ₁)³/6.
Λύση και απάντηση
- E = ∫14(−x2 + 5x − 4)dx.
- = (ρ₂ − ρ₁)³/6 = 3³/6 = 92.
Απάντηση: 92
Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εμβαδόν ανάμεσα σε παραβολή και ευθεία · Εμβαδόν κάτω από παραβολή · Εμβαδόν με εκθετικές · Εμβαδόν ανάμεσα σε κυβική και ευθεία.
Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις
Το εμβαδόν μεταξύ Cf, x′x και των x = α, x = β (f συνεχής) είναι:
- f(β)·(β − α)
- |f(β) − f(α)|
- ∫ₐᵇ f(x)dx πάντα
- ∫ₐᵇ |f(x)|dx
Δες την απάντηση
Σωστό: ∫ₐᵇ |f(x)|dx. Με απόλυτη τιμή, γιατί η f μπορεί να είναι αρνητική.
Αν f(x) ≤ 0 στο [α, β], το εμβαδόν μεταξύ Cf και x′x είναι:
- 0
- −∫ₐᵇ f(x)dx
- ∫ₐᵇ f(x)dx
- ∫ₐᵇ f²(x)dx
Δες την απάντηση
Σωστό: −∫ₐᵇ f(x)dx. Αλλάζουμε πρόσημο.
Το εμβαδόν μεταξύ των Cf και Cg στο [α, β] είναι:
- |∫ₐᵇ f| + |∫ₐᵇ g|
- ∫ₐᵇ (f + g)dx
- ∫ₐᵇ f·g dx
- ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx
Δες την απάντηση
Σωστό: ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx. Απόλυτη διαφορά.
Το εμβαδόν μεταξύ της y = x² και του x′x στο [0, 1] είναι:
- 1
- 1/2
- 1/3
- 2/3
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/3. ∫₀¹ x² dx.
Το εμβαδόν μεταξύ της y = x και της y = x² στο [0, 1] είναι:
- 1
- 1/2
- 1/3
- 1/6
Δες την απάντηση
Σωστό: 1/6. ∫₀¹ (x − x²)dx = 1/2 − 1/3.
Το εμβαδόν μεταξύ της y = ημx και του x′x στο [0, 2π] είναι:
- 0
- 2
- 2π
- 4
Δες την απάντηση
Σωστό: 4. 2 + 2 (το αλγεβρικό ολοκλήρωμα είναι 0).
Το ∫₀^(2π) ημx dx ισούται με:
- 0
- 2
- 2π
- 4
Δες την απάντηση
Σωστό: 0. Τα δύο τμήματα αλληλοαναιρούνται.
Για να βρούμε το εμβαδόν μεταξύ δύο καμπυλών, βρίσκουμε πρώτα:
- τα ακρότατα
- τα σημεία τομής τους
- τις ασύμπτωτες
- τις παραγώγους τους
Δες την απάντηση
Σωστό: τα σημεία τομής τους. Ορίζουν τα όρια ολοκλήρωσης.
Το εμβαδόν μεταξύ της y = e^x, του x′x και των x = 0, x = 1 είναι:
- 1
- e
- e + 1
- e − 1
Δες την απάντηση
Σωστό: e − 1. ∫₀¹ e^x dx.
Το εμβαδόν μεταξύ της y = 1/x, του x′x και των x = 1, x = e είναι:
- 0
- 1
- e
- e − 1
Δες την απάντηση
Σωστό: 1. ∫₁^e (1/x)dx = 1.
Σωστό ή Λάθος
Το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της Cf και του x′x στο [α, β] ισούται πάντα με ∫αβ f(x)dx.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ισούται με ∫αβ |f(x)|dx. Όπου f < 0 το ολοκλήρωμα «αφαιρεί».
Αν f(x) ≥ g(x) στο [α, β], το εμβαδόν μεταξύ Cf, Cg και των ευθειών x = α, x = β είναι ∫αβ (f(x) − g(x))dx.
Δες την απάντηση
Σωστό. Βασικός τύπος εμβαδού.
Αν το χωρίο βρίσκεται κάτω από τον x′x, το εμβαδόν του είναι αρνητικό.
Δες την απάντηση
Λάθος. Ένα εμβαδόν είναι πάντα θετικό. Αρνητικό βγαίνει μόνο το ολοκλήρωμα.
Το εμβαδόν που περικλείεται από την y = x2 και την y = 1 είναι 43.
Δες την απάντηση
Σωστό. ∫−11 (1 − x2)dx = 2 − 23 = 43.
Το εμβαδόν μεταξύ της y = ημx και του x′x στο [0, 2π] είναι 0.
Δες την απάντηση
Λάθος. Το ολοκλήρωμα είναι 0, αλλά το εμβαδόν είναι 2 + 2 = 4.
Όταν οι Cf και Cg τέμνονται μέσα στο [α, β], το εμβαδόν υπολογίζεται χωρίζοντας το ολοκλήρωμα στα σημεία τομής.
Δες την απάντηση
Σωστό. Σε κάθε κομμάτι η διαφορά f − g έχει σταθερό πρόσημο.
Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.