3.3 Διαφορικές εξισώσεις

Μάθημα 3.3 Διαφορικές εξισώσεις της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, στην ενότητα «Ολοκληρωτικός λογισμός». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Διαφορικές εξισώσεις

Εκθετική μεταβολή

Η y = y(x) ικανοποιεί y′ = 2y με y(0) = 2. Να βρείτε το y(ln 22).

Υποδείξεις

Η λύση είναι y = c·e^2x.
e^{2·(ln 2)/2} = e^{ln 2} = 2.

Λύση και απάντηση

y = 2e^2x.
y = 2·2 = 4.

Απάντηση: 4

Γραμμική y′ + py = q

Η συνάρτηση y = y(x) ικανοποιεί y′ + y = −1 και y(0) = −6. Να βρείτε το y(ln 2).

Υποδείξεις

Πολλαπλασίασε με e^x: (e^xy)′ = −1e^x.
Γενική λύση: y = −1 + c·e^−x.

Λύση και απάντηση

y = −1 + c·e^−x, y(0) = −1 + c = −6 ⇒ c = −5.
Στο x = (ln 2)/1: e^−1x = 12.
y = −1 − 5·12 = −72.

Απάντηση: −72

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Εκθετική μεταβολή · Γραμμική y′ + py = q · f′ = 2x·f.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η διαφορική εξίσωση y′ = y έχει γενική λύση:
- y = ce^x
- y = cx
- y = ln x + c
- y = x + c
Δες την απάντηση
Σωστό: y = ce^x. (ye^(−x))′ = 0.
Η y′ = 2x έχει γενική λύση:
- y = 2
- y = 2x + c
- y = ce^(2x)
- y = x² + c
Δες την απάντηση
Σωστό: y = x² + c. Αρχική της 2x.
Η y′ = αy (α σταθερά) έχει γενική λύση:
- y = ce^(αx)
- y = ce^x
- y = α
- y = αx + c
Δες την απάντηση
Σωστό: y = ce^(αx). Εκθετική αύξηση ή μείωση.
Η λύση της y′ = y με y(0) = 3 είναι:
- y = 3e^x
- y = 3x
- y = e^(3x)
- y = e^x + 3
Δες την απάντηση
Σωστό: y = 3e^x. c = 3.
Μια διαφορική εξίσωση περιέχει:
- μόνο ανισότητες
- μόνο αριθμούς
- μόνο ολοκληρώματα
- την άγνωστη συνάρτηση και παραγώγους της
Δες την απάντηση
Σωστό: την άγνωστη συνάρτηση και παραγώγους της. Ορισμός.
Η y′ + y = 0 έχει γενική λύση:
- y = 0 μόνο
- y = ce^(−x)
- y = ce^x
- y = −x + c
Δες την απάντηση
Σωστό: y = ce^(−x). y′ = −y.
Στη διαφορική εξίσωση y′ + α(x)y = β(x) πολλαπλασιάζουμε με:
- e^(A(x)), όπου A αρχική της α
- e^x πάντα
- α(x)
- β(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: e^(A(x)), όπου A αρχική της α. Ολοκληρωτικός παράγοντας.
Η y′ = 3 με y(0) = 1 έχει λύση:
- y = 3x
- y = 3x + 1
- y = e^(3x)
- y = x + 3
Δες την απάντηση
Σωστό: y = 3x + 1. y = 3x + c, c = 1.
Ο νόμος της ραδιενεργού διάσπασης Q′ = −kQ (k > 0) δίνει:
- Q(t) = Q₀ − kt
- Q(t) = Q₀e^(kt)
- Q(t) = Q₀e^(−kt)
- Q(t) = kt
Δες την απάντηση
Σωστό: Q(t) = Q₀e^(−kt). Εκθετική μείωση.
Η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης περιέχει:
- άπειρες σταθερές
- δύο σταθερές
- καμία σταθερά
- μία αυθαίρετη σταθερά
Δες την απάντηση
Σωστό: μία αυθαίρετη σταθερά. Προσδιορίζεται από αρχική συνθήκη.

Σωστό ή Λάθος

Η διαφορική εξίσωση y′ = y έχει μοναδική λύση την y = e^x.
Δες την απάντηση
Λάθος. Οι λύσεις είναι οι y = c · e^x.
Η λύση της y′ = y με y(0) = 3 είναι η y = 3e^x.
Δες την απάντηση
Σωστό. Από y = ce^x και y(0) = c = 3.
Η y′ = 2x έχει μοναδική λύση την y = x².
Δες την απάντηση
Λάθος. Οι λύσεις είναι οι y = x² + c.
Η y′ + αy = 0 (α σταθερά) έχει λύσεις y = c · e^−αx.
Δες την απάντηση
Σωστό. Πολλαπλασιάζουμε με e^αx: (y e^αx)′ = 0.
Μια διαφορική εξίσωση έχει πάντα μία μόνο λύση.
Δες την απάντηση
Λάθος. Συνήθως έχει άπειρες λύσεις. Μια αρχική συνθήκη επιλέγει μία από αυτές.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στο YouTube.