MathGreeceMathGreece

3.9 Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx

Μάθημα 3.9 Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Τριγωνομετρία». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx

Μέγιστη τιμή αημx + βσυνx

Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f(x) = −4ημx − 3συνx + 5.
Υποδείξεις
  • αημx + βσυνx = ρ·ημ(x + φ) με ρ = √(α² + β²).
Λύση και απάντηση
  1. ρ = √(16 + 9) = 5.
  2. max = 5 + 5 = 10, min = −5 + 5 = 0.

Απάντηση: max = 10  ·  min = 0

Εξίσωση αημx + βσυνx = γ: έχει λύση;

Για ποιες από τις παρακάτω τιμές του γ έχει λύση η εξίσωση 3ημx + 4συνx = γ; Γράψε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του γ.
Υποδείξεις
  • Το αριστερό μέλος γράφεται 5ημ(x + φ) και παίρνει τιμές στο [−5, 5].
Λύση και απάντηση
  1. Έχει λύση ⇔ |γ| ≤ 5.
  2. Μέγιστο γ: 5.

Απάντηση: 5

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Μέγιστη τιμή αημx + βσυνx · Εξίσωση αημx + βσυνx = γ: έχει λύση;.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η αημx + βσυνx γράφεται ρ·ημ(x + φ) με ρ =

    • |α − β|
    • α + β
    • α² + β²
    • √(α² + β²)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: √(α² + β²). Το πλάτος είναι ρ = √(α² + β²).

  2. Η f(x) = 3ημx + 4συνx έχει μέγιστη τιμή:

    • 1
    • 25
    • 5
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 5. ρ = √(9 + 16) = 5, άρα μέγιστο 5.

  3. Η f(x) = ημx + συνx έχει ελάχιστη τιμή:

    • 0
    • −1
    • −2
    • −√2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −√2. ρ = √2, άρα ελάχιστο −√2.

  4. Η περίοδος της f(x) = ημx + √3συνx είναι:

    • 2π
    • 4π
    • π
    • π/2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2π. Γράφεται 2ημ(x + π/3), με περίοδο 2π.

  5. Η ημx + √3συνx ισούται με:

    • 2ημ(x + π/3)
    • 2ημ(x + π/6)
    • 2συν(x + π/3)
    • ημ(x + π/3)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2ημ(x + π/3). 2[ημx·(1/2) + συνx·(√3/2)] = 2ημ(x + π/3).

  6. Η ημx − συνx ισούται με:

    • 2ημ(x − π/4)
    • ημ(x − π/4)
    • √2·ημ(x + π/4)
    • √2·ημ(x − π/4)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: √2·ημ(x − π/4). √2[ημx·(√2/2) − συνx·(√2/2)] = √2ημ(x − π/4).

  7. Η εξίσωση 3ημx + 4συνx = 6:

    • έχει άπειρες λύσεις στο [0, 2π)
    • έχει δύο λύσεις στο [0, 2π)
    • έχει μία λύση στο [0, 2π)
    • είναι αδύνατη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: είναι αδύνατη. Η μέγιστη τιμή του αριστερού μέλους είναι 5 < 6.

  8. Η εξίσωση αημx + βσυνx = γ έχει λύση αν και μόνο αν:

    • γ = 0
    • γ ≤ α + β
    • γ² ≤ α² + β²
    • γ² ≥ α² + β²
    Δες την απάντηση

    Σωστό: γ² ≤ α² + β². Πρέπει |γ| ≤ ρ = √(α² + β²).

  9. Το σύνολο τιμών της f(x) = ημx + συνx είναι:

    • [0, √2]
    • [−1, 1]
    • [−2, 2]
    • [−√2, √2]
    Δες την απάντηση

    Σωστό: [−√2, √2]. f(x) = √2ημ(x + π/4).

  10. Για την f(x) = 6ημx + 8συνx, το ρ ισούται με:

    • 10
    • 100
    • 14
    • 2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 10. ρ = √(36 + 64) = 10.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η f(x) = 3ημx + 4συνx έχει μέγιστη τιμή 7.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Γράφεται 5ημ(x + φ), άρα το μέγιστο είναι 5 = √(9 + 16).

  2. Η αημx + βσυνx γράφεται ρημ(x + φ) με ρ = √(α2 + β2).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Βασικός μετασχηματισμός.

  3. Η ημx + συνx παίρνει την τιμή 2.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Το μέγιστό της είναι √2.

  4. Η αημx + βσυνx έχει περίοδο 2π.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Είναι ημιτονοειδής με ω = 1.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Τριγωνομετρία»