MathGreeceMathGreece

3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Μάθημα 3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Τριγωνομετρία». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 6 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Λύσε την εξίσωση εφx = 1 (κ ∈ ℤ).
  1. x = κπ + π4
  2. x = 2κπ + π4
  3. x = 2κπ ± π4
  4. x = κπ ± π4
Υποδείξεις
  • Γράψε το 1 ως εφπ4.
  • ημx = ημθ ⇔ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ· συνx = συνθ ⇔ x = 2κπ ± θ· εφx = εφθ ⇔ x = κπ + θ.
Λύση και απάντηση
  1. 1 = εφπ4.
  2. Άρα x = κπ + π4, κ ∈ ℤ.

Απάντηση: x = κπ + π4

Πλήθος λύσεων σε διάστημα

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση συνx = 12 στο διάστημα [0, 3π];
Υποδείξεις
  • Γράψε τη γενική λύση.
  • Δώσε τιμές στο κ και κράτα όσες λύσεις πέφτουν στο διάστημα (μαζί με τα άκρα).
Λύση και απάντηση
  1. Μετρώντας τις λύσεις στο [0, 3π]: 3.

Απάντηση: 3

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Τριγωνομετρικές εξισώσεις · Πλήθος λύσεων σε διάστημα.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η εξίσωση ημx = ημθ έχει λύσεις:

    • x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ, κ ∈ ℤ
    • x = 2κπ ± θ, κ ∈ ℤ
    • x = κπ + θ, κ ∈ ℤ
    • μόνο x = 2κπ + θ, κ ∈ ℤ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ, κ ∈ ℤ. Ίσα ημίτονα έχουν οι γωνίες θ και π − θ (και οι ομόλογές τους).

  2. Η εξίσωση συνx = συνθ έχει λύσεις:

    • x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ
    • x = 2κπ ± θ, κ ∈ ℤ
    • x = κπ + θ
    • x = κπ ± θ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2κπ ± θ, κ ∈ ℤ. Ίσα συνημίτονα έχουν οι γωνίες θ και −θ.

  3. Η εξίσωση εφx = εφθ έχει λύσεις:

    • x = 2κπ + θ
    • x = 2κπ ± θ
    • x = κπ + θ, κ ∈ ℤ
    • x = κπ − θ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = κπ + θ, κ ∈ ℤ. Η εφαπτομένη έχει περίοδο π.

  4. Οι λύσεις της ημx = 0 είναι:

    • x = 2κπ
    • x = 2κπ + π/2
    • x = κπ
    • x = κπ + π/2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = κπ. Το ημίτονο μηδενίζεται στα πολλαπλάσια του π.

  5. Οι λύσεις της συνx = 0 είναι:

    • x = 2κπ
    • x = 2κπ + π
    • x = κπ
    • x = κπ + π/2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = κπ + π/2. Το συνημίτονο μηδενίζεται στο π/2 και ανά π.

  6. Οι λύσεις της ημx = 1 είναι:

    • x = 2κπ
    • x = 2κπ + π/2
    • x = κπ
    • x = κπ + π/2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2κπ + π/2. Το ημίτονο γίνεται 1 μόνο στο π/2 (και ανά 2π).

  7. Οι λύσεις της συνx = 1/2 είναι:

    • x = 2κπ + π/3 ή x = 2κπ + 2π/3
    • x = 2κπ ± π/3
    • x = 2κπ ± π/6
    • x = κπ + π/3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2κπ ± π/3. συνx = συν(π/3), άρα x = 2κπ ± π/3.

  8. Οι λύσεις της εφx = 1 είναι:

    • x = 2κπ + π/4
    • x = 2κπ ± π/4
    • x = κπ + π/4
    • x = κπ − π/4
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = κπ + π/4. εφx = εφ(π/4).

  9. Η εξίσωση ημx = 2:

    • έχει δύο λύσεις στο [0, π]
    • έχει λύσεις x = 2κπ
    • έχει λύση x = π
    • είναι αδύνατη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: είναι αδύνατη. Το ημίτονο δεν ξεπερνά το 1.

  10. Πόσες λύσεις έχει η ημx = 1/2 στο [0, 2π);

    • 1
    • 2
    • 4
    • άπειρες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. x = π/6 και x = 5π/6.

Σωστό ή Λάθος

  1. Η εξίσωση ημx = 12 έχει μοναδική λύση x = π6.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Έχει άπειρες: x = 2κπ + π6 ή x = 2κπ + 5π6.

  2. Οι λύσεις της συνx = συνθ είναι x = 2κπ ± θ.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Βασική τριγωνομετρική εξίσωση.

  3. Η εξίσωση εφx = 3 είναι αδύνατη, αφού 3 > 1.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Η εφ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές.

  4. Η εξίσωση συνx = −2 είναι αδύνατη.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. −1 ≤ συνx ≤ 1.

  5. Οι λύσεις της ημx = 0 είναι x = 2κπ.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι x = κπ (π.χ. και το π).

  6. Η εξίσωση ημx = ημα έχει λύσεις x = 2κπ + α ή x = 2κπ + π − α.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Βασική τριγωνομετρική εξίσωση.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Τριγωνομετρία»