MathGreeceMathGreece

3.10 Επίλυση τριγώνου

Μάθημα 3.10 Επίλυση τριγώνου της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, στην ενότητα «Τριγωνομετρία». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 5 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Επίλυση τριγώνου

Νόμος των συνημιτόνων

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β = ΑΓ = 5, γ = ΑΒ = 7 και Α = 60°. Βρες την πλευρά α = ΒΓ. (Γράψε π.χ. √19 ή 2√7)
Υποδείξεις
  • Νόμος συνημιτόνων: α2 = β2 + γ2 − 2βγ · συνΑ.
  • συν60° = 12.
Λύση και απάντηση
  1. α2 = 52 + 72 − 2 · 5 · 7 · συν60°.
  2. α2 = 74 − 35 = 39.
  3. α = √39.

Απάντηση: α = ΒΓ = √39

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Νόμος των ημιτόνων · Νόμος των συνημιτόνων · Εμβαδόν τριγώνου με ημίτονο.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ο νόμος των ημιτόνων σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:

    • α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ = 2R
    • α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ = R
    • α/συνΑ = β/συνΒ = γ/συνΓ
    • α·ημΑ = β·ημΒ = γ·ημΓ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ = 2R. R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

  2. Ο νόμος των συνημιτόνων δίνει:

    • α² = β² + γ²
    • α² = β² + γ² + 2βγ·συνΑ
    • α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ
    • α² = β² + γ² − βγ·συνΑ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ. Γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος.

  3. Σε τρίγωνο με β = 3, γ = 4 και Α = 90°, η πλευρά α είναι:

    • 1
    • 25
    • 5
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 5. συν90° = 0, άρα α² = 9 + 16 = 25.

  4. Αν σε τρίγωνο ισχύει α² > β² + γ², τότε η γωνία Α είναι:

    • 60°
    • αμβλεία
    • οξεία
    • ορθή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: αμβλεία. Τότε συνΑ < 0.

  5. Σε τρίγωνο με β = γ = 1 και Α = 60°, η πλευρά α είναι:

    • 1
    • 2
    • √2
    • √3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 1. α² = 1 + 1 − 2·(1/2) = 1.

  6. Αν Α = 30° και α = 2, η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου είναι:

    • 1
    • 2
    • 4
    • √3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2. 2R = α/ημΑ = 2/(1/2) = 4, άρα R = 2.

  7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 45°, Β = 60° και α = √2, η πλευρά β είναι:

    • 1
    • √2
    • √3
    • √6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: √3. β = α·ημΒ/ημΑ = √2·(√3/2)/(√2/2) = √3.

  8. Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται και από τον τύπο:

    • Ε = (1/2)αβ·ημΑ
    • Ε = (1/2)βγ·ημΑ
    • Ε = (1/2)βγ·συνΑ
    • Ε = βγ·ημΑ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Ε = (1/2)βγ·ημΑ. Το ημίτονο της γωνίας που περιέχουν οι δύο πλευρές.

  9. Για να επιλύσουμε τρίγωνο του οποίου γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές, χρησιμοποιούμε:

    • μόνο το Πυθαγόρειο θεώρημα
    • μόνο τον νόμο των ημιτόνων
    • τον νόμο των συνημιτόνων
    • τον τύπο της εφαπτομένης
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τον νόμο των συνημιτόνων. Από αυτόν βρίσκουμε το συνημίτονο κάθε γωνίας.

  10. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α + Β = 120°, τότε Γ =

    • 120°
    • 240°
    • 30°
    • 60°
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 60°. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 180°.

Σωστό ή Λάθος

  1. Ο νόμος των ημιτόνων ισχύει μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Ισχύει για κάθε τρίγωνο.

  2. αημΑ = 2R, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Νόμος ημιτόνων.

  3. Αν σε τρίγωνο α2 = β2 + γ2 + βγ, τότε Α = 60°.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Από τον νόμο συνημιτόνων συνΑ = −12, άρα Α = 120°.

  4. Με δύο πλευρές και μια μη περιεχόμενη γωνία μπορεί να υπάρχουν δύο τρίγωνα.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Αμφίσημη περίπτωση.

  5. Σε κάθε τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά είναι απέναντι από αμβλεία γωνία.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία, που μπορεί να είναι και οξεία.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Β΄ Λυκείου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Τριγωνομετρία»