MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Νόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνων

Ο νόμος των ημιτόνων (αημΑ = βημΒ = γημΓ = 2R) και ο νόμος των συνημιτόνων (α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ) λύνουν οποιοδήποτε τρίγωνο, όχι μόνο ορθογώνιο. Εδώ θα τους βρεις μαζί με τη γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος και την επίλυση τριγώνου.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Νόμος των ημιτόνων – Νόμος των συνημιτόνων · Γ΄ Γυμνασίου →

Νόμος ημιτόνων: αημA = βημB = γημΓ
Νόμος συνημιτόνων: α2 = β2 + γ2 − 2βγ · συνA

Επίλυση τριγώνου · Β΄ Λυκείου →

αημΑ = βημΒ = γημΓ = 2R  α2 = β2 + γ2 − 2βγ συνΑ  E = 12βγ ημΑ

Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος · Β΄ Λυκείου →

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή: α2 = β2 + γ2 − 2β · AΔ (Â < 90°).
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή: α2 = β2 + γ2 + 2β · AΔ (Â > 90°).
Αν α η μεγαλύτερη πλευρά τριγώνου: α2 < β2 + γ2 ⇔ το τρίγωνο είναι οξυγώνιο· α2 = β2 + γ2 ⇔ ορθογώνιο· α2 > β2 + γ2 ⇔ αμβλυγώνιο.
Σε κάθε τρίγωνο ABΓ ισχύει α2 = β2 + γ2 − 2βγ συνA.
 = 60°: α2 = β2 + γ2 − βγ   = 120°: α2 = β2 + γ2 + βγ   = 45°: α2 = β2 + γ2 − βγ√2

Λυμένες ασκήσεις: Νόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνων

Νόμος των ημιτόνων

Από το μάθημα «Νόμος των ημιτόνων – Νόμος των συνημιτόνων» · Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 8, Â = 30° και B̂ = 45°. Να βρείτε την πλευρά β.
Υποδείξεις
  • Νόμος ημιτόνων: αημΑ = βημΒ.
Λύση και απάντηση
  1. β = α·ημΒημΑ = 8√2.

Απάντηση: 8√2

Νόμος των συνημιτόνων

Από το μάθημα «Επίλυση τριγώνου» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β = ΑΓ = 5, γ = ΑΒ = 7 και Α = 60°. Βρες την πλευρά α = ΒΓ. (Γράψε π.χ. √19 ή 2√7)
Υποδείξεις
  • Νόμος συνημιτόνων: α2 = β2 + γ2 − 2βγ · συνΑ.
  • συν60° = 12.
Λύση και απάντηση
  1. α2 = 52 + 72 − 2 · 5 · 7 · συν60°.
  2. α2 = 74 − 35 = 39.
  3. α = √39.

Απάντηση: α = ΒΓ = √39

Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες

Από το μάθημα «Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος» · Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές 13, 8, 6. Τι είδους είναι ως προς τις γωνίες του;
  1. Αμβλυγώνιο
  2. Οξυγώνιο
  3. Ορθογώνιο
Υποδείξεις
  • Σύγκρινε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο.
Λύση και απάντηση
  1. Μεγαλύτερη πλευρά: 13, 132 = 169.
  2. Άθροισμα τετραγώνων των άλλων: 100.
  3. 169 > 100 ⇒ αμβλυγώνιο.

Απάντηση: Αμβλυγώνιο

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 3 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ο νόμος των ημιτόνων είναι:

    • α + β = γ
    • αημΑ = βημΒ = γημΓ
    • α² = β² + γ²
    • α·ημΑ = β·ημΒ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: αημΑ = βημΒ = γημΓ. Η αναλογία πλευρών-ημιτόνων.

    Περισσότερες: Νόμος των ημιτόνων – Νόμος των συνημιτόνων (Γ΄ Γυμνασίου)

  2. Ο νόμος των ημιτόνων σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:

    • α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ = 2R
    • α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ = R
    • α/συνΑ = β/συνΒ = γ/συνΓ
    • α·ημΑ = β·ημΒ = γ·ημΓ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ = 2R. R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

    Περισσότερες: Επίλυση τριγώνου (Β΄ Λυκείου)

  3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α οξεία, αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, ισχύει:

    • α² = β² + γ²
    • α² = β² + γ² + 2β·ΑΔ
    • α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ
    • α² = β² − γ²
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ. Η πλευρά απέναντι από οξεία γωνία.

    Περισσότερες: Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

ΓεωμετρίαΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Πυθαγόρειο θεώρημαΤριγωνομετρικοί αριθμοίΤριγωνομετρικές εξισώσεις και τύποιΦυσικοί αριθμοίΚλάσματαΔεκαδικοί αριθμοίΣτρογγυλοποίησηΠοσοστάΌλα τα θέματα →