MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Τριγωνομετρικές εξισώσεις και τύποι

Στη Β΄ Λυκείου η Τριγωνομετρία γίνεται Άλγεβρα: ταυτότητες όπως ημ²x + συν²x = 1, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, εξισώσεις όπως ημx = ημθ και τύποι για το άθροισμα και τη διπλάσια γωνία. Εδώ θα τα βρεις με θεωρία, τύπους και λυμένες ασκήσεις.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες · Β΄ Λυκείου →

Για κάθε γωνία ω ισχύει ημ2ω + συν2ω = 1.
Αν συνω ≠ 0 τότε εφω = ημωσυνω· αν ημω ≠ 0 τότε σφω = συνωημω· αν ημω συνω ≠ 0 τότε εφω · σφω = 1.
συν2ω = 11 + εφ2ω και ημ2ω = εφ2ω1 + εφ2ω (συνω ≠ 0).
1 + σφ2ω = 1ημ2ω  (ημω ≠ 0)

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις · Β΄ Λυκείου →

Μια συνάρτηση f με πεδίο A λέγεται περιοδική όταν υπάρχει T > 0 ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει x + T, x − T ∈ A και f(x + T) = f(x − T) = f(x). Ο μικρότερος τέτοιος T λέγεται περίοδος.

Η f(x) = ρ ημ(ωx), με ρ, ω > 0, έχει μέγιστη τιμή ρ, ελάχιστη −ρ και περίοδο T = 2πω. Το ίδιο ισχύει για την ρ συν(ωx).

Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις · Β΄ Λυκείου →

Αν |α| > 1 η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν |α| ≤ 1, βρίσκουμε γωνία θ με ημθ = α και:

ημx = ημθ ⇔ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + (π − θ), κ ∈ ℤ.
συνx = συνθ ⇔ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ − θ, κ ∈ ℤ.
εφx = εφθ ⇔ x = κπ + θ, κ ∈ ℤ (και ανάλογα σφx = σφθ ⇔ x = κπ + θ).
ημx = 0 ⇔ x = κπ  ημx = 1 ⇔ x = 2κπ + π2  ημx = −1 ⇔ x = 2κπ − π2

Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α · Β΄ Λυκείου →

ημ2α = 2ημα συνα  συν2α = συν2α − ημ2α = 2συν2α − 1 = 1 − 2ημ2α  εφ2α = 2εφα1 − εφ2α

Μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων · Β΄ Λυκείου →

ημα + ημβ = 2ημα + β2συνα − β2  συνα + συνβ = 2συνα + β2συνα − β2

Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx · Β΄ Λυκείου →

αημx + βσυνx = ρημ(x + φ),  ρ = √α2 + β2

Λυμένες ασκήσεις: Τριγωνομετρικές εξισώσεις και τύποι

ημx·συνx από εφx

Από το μάθημα «Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Αν εφx = −5, να βρείτε το ημx·συνx.
Υποδείξεις
  • ημx·συνx = ημx·συνxημ²x + συν²x. Διαίρεσε αριθμητή και παρονομαστή με συν²x.
  • = εφxεφ²x + 1.
Λύση και απάντηση
  1. ημx·συνx = εφx1 + εφ²x = −51 + 25 = −526.

Απάντηση: −526

Τριγωνομετρικοί αριθμοί 15°, 75°, 105°

Από το μάθημα «Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να υπολογίσετε (ακριβώς) το εφ15°.
Υποδείξεις
  • Γράψε τη γωνία ως άθροισμα ή διαφορά γνωστών γωνιών (π.χ. 45° ± 30°, 60° + 45°).
  • ημ(α ± β) = ημα συνβ ± συνα ημβ, συν(α ± β) = συνα συνβ ∓ ημα ημβ.
Λύση και απάντηση
  1. Με τους τύπους αθροίσματος: εφ15° = 2 − √3.

Απάντηση: 2 − √3

Μέγιστη τιμή αημx + βσυνx

Από το μάθημα «Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f(x) = −4ημx − 3συνx + 5.
Υποδείξεις
  • αημx + βσυνx = ρ·ημ(x + φ) με ρ = √(α² + β²).
Λύση και απάντηση
  1. ρ = √(16 + 9) = 5.
  2. max = 5 + 5 = 10, min = −5 + 5 = 0.

Απάντηση: max = 10  ·  min = 0

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Για κάθε x ισχύει ημ²x + συν²x =

    • 0
    • 1
    • 2
    • ημ2x
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 1. Βασική ταυτότητα (Πυθαγόρειο στον τριγωνομετρικό κύκλο).

    Περισσότερες: Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες (Β΄ Λυκείου)

  2. Η περίοδος της f(x) = ημx είναι:

    • 2π
    • 4π
    • π
    • π/2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2π. Το ημίτονο επαναλαμβάνεται ανά 2π.

    Περισσότερες: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις (Β΄ Λυκείου)

  3. Η εξίσωση ημx = ημθ έχει λύσεις:

    • x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ, κ ∈ ℤ
    • x = 2κπ ± θ, κ ∈ ℤ
    • x = κπ + θ, κ ∈ ℤ
    • μόνο x = 2κπ + θ, κ ∈ ℤ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + π − θ, κ ∈ ℤ. Ίσα ημίτονα έχουν οι γωνίες θ και π − θ (και οι ομόλογές τους).

    Περισσότερες: Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις (Β΄ Λυκείου)

  4. Το ημ2α ισούται με:

    • 2ημα
    • 2ημασυνα
    • ημ²α − συν²α
    • ημασυνα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2ημασυνα. Από το ημ(α + α).

    Περισσότερες: Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α (Β΄ Λυκείου)

  5. Το ημα + ημβ ισούται με:

    • 2ημ((α+β)/2)ημ((α−β)/2)
    • 2ημ((α+β)/2)συν((α−β)/2)
    • 2συν((α+β)/2)συν((α−β)/2)
    • ημ(α + β)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2ημ((α+β)/2)συν((α−β)/2). Τύπος μετασχηματισμού αθροίσματος ημιτόνων σε γινόμενο.

    Περισσότερες: Μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων (Β΄ Λυκείου)

  6. Η αημx + βσυνx γράφεται ρ·ημ(x + φ) με ρ =

    • |α − β|
    • α + β
    • α² + β²
    • √(α² + β²)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: √(α² + β²). Το πλάτος είναι ρ = √(α² + β²).

    Περισσότερες: Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Εξισώσεις & ανισώσειςΓραφικές παραστάσειςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Τριγωνομετρικοί αριθμοίΝόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνωνΦυσικοί αριθμοίΚλάσματαΔεκαδικοί αριθμοίΣτρογγυλοποίησηΠοσοστάΑνάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσάΌλα τα θέματα →