MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα, συνημίτονο ο λόγος της προσκείμενης κάθετης προς την υποτείνουσα και εφαπτομένη ο λόγος της απέναντι προς την προσκείμενη κάθετη. Εδώ θα βρεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς από τη Β΄ Γυμνασίου μέχρι τον τριγωνομετρικό κύκλο και την αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου

Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Εφαπτομένη οξείας γωνίας · Β΄ Γυμνασίου →

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ω λέγεται ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά.

εφω = απέναντι κάθετηπροσκείμενη κάθετη

Η κλίση της ευθείας y = αx είναι η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει με τον άξονα x′x: α = εφω.

Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης · Β΄ Γυμνασίου →

Όταν μια οξεία γωνία ω αυξάνεται (από 0° προς 90°):

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60° · Β΄ Γυμνασίου →

ημ30° = 12  συν30° = √32  εφ30° = √33
ημ45° = √22  συν45° = √22  εφ45° = 1
ημ60° = √32  συν60° = 12  εφ60° = √3

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών · Γ΄ Γυμνασίου →

Δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180° − ω έχουν:

ημ(180° − ω) = ημω
συν(180° − ω) = −συνω
εφ(180° − ω) = −εφω  (ω ≠ 90°)

Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας · Γ΄ Γυμνασίου →

Για κάθε γωνία ω ισχύει:

ημ2ω + συν2ω = 1

Για κάθε γωνία ω με συνω ≠ 0 (ω ≠ 90°) ισχύει:

εφω = ημωσυνω

Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο · Β΄ Λυκείου →

Αντίθετες γωνίες: ημ(−ω) = −ημω, συν(−ω) = συνω, εφ(−ω) = −εφω, σφ(−ω) = −σφω.
Παραπληρωματικές γωνίες: ημ(π − ω) = ημω, συν(π − ω) = −συνω, εφ(π − ω) = −εφω, σφ(π − ω) = −σφω.
Γωνίες που διαφέρουν κατά π: ημ(π + ω) = −ημω, συν(π + ω) = −συνω, εφ(π + ω) = εφω, σφ(π + ω) = σφω.
Συμπληρωματικές γωνίες: ημ(π2 − ω) = συνω, συν(π2 − ω) = ημω, εφ(π2 − ω) = σφω, σφ(π2 − ω) = εφω.
ημ(π2 + ω) = συνω  συν(π2 + ω) = −ημω  εφ(π2 + ω) = −σφω

Λυμένες ασκήσεις: Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Εφαπτομένη και ύψος (κλίση)

Από το μάθημα «Εφαπτομένη οξείας γωνίας» · Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) είναι ΑΒ = 7 και ΑΓ = 24. Να βρείτε την εφB και την εφΓ.
Υποδείξεις
  • εφ = απέναντι κάθετη / προσκείμενη κάθετη.
Λύση και απάντηση
  1. εφB = ΑΓ/ΑΒ = 247.
  2. εφΓ = ΑΒ/ΑΓ = 724.

Απάντηση: εφB = 247  ·  εφΓ = 724

Τριγωνομετρικοί αριθμοί από σημείο

Από το μάθημα «Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180°» · Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου

Το σημείο Μ(24, 7) βρίσκεται στην τελική πλευρά γωνίας ω (0° ≤ ω ≤ 180°). Να βρείτε ημω, συνω και εφω.
Υποδείξεις
  • ρ = √(x² + y²) = 25.
  • ημω = y/ρ, συνω = x/ρ, εφω = y/x.
Λύση και απάντηση
  1. ρ = 25.
  2. ημω = 725, συνω = 2425, εφω = 724.

Απάντηση: ημω = 725  ·  συνω = 2425  ·  εφω = 724

Αναγωγή γωνίας σε ακτίνια

Από το μάθημα «Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να υπολογίσετε το ημ(74π3).
Υποδείξεις
  • Γράψε τη γωνία ως 2κπ + θ με 0 ≤ θ < 2π.
  • Μετά ανάγαγε στο 1ο τεταρτημόριο με τους κανόνες (π − θ, π + θ, 2π − θ).
Λύση και απάντηση
  1. ημ(74π3) = ημ(2π3).
  2. Τιμή: √32.

Απάντηση: √32

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η εφαπτομένη οξείας γωνίας ω σε ορθογώνιο τρίγωνο ισούται με:

    • Απέναντι : υποτείνουσα
    • Απέναντι κάθετη : προσκείμενη κάθετη
    • Προσκείμενη : απέναντι
    • Προσκείμενη : υποτείνουσα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Απέναντι κάθετη : προσκείμενη κάθετη. εφω = απέναντι / προσκείμενη.

    Περισσότερες: Εφαπτομένη οξείας γωνίας (Β΄ Γυμνασίου)

  2. Όταν η οξεία γωνία ω αυξάνεται, το ημίτονο:

    • Αυξάνεται
    • Γίνεται 0
    • Μένει σταθερό
    • Μειώνεται
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Αυξάνεται. Το ημ είναι αύξουσα συνάρτηση για οξείες γωνίες.

    Περισσότερες: Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης (Β΄ Γυμνασίου)

  3. Το ημ30° είναι:

    • 1
    • 12
    • √22
    • √32
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 12. Γνωστή τιμή: ημ30° = 12.

    Περισσότερες: Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60° (Β΄ Γυμνασίου)

  4. Αν ω και 180° − ω είναι παραπληρωματικές, τότε ημ(180° − ω) =

    • ημω
    • συνω
    • −ημω
    • −συνω
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ημω. Τα ημίτονα παραπληρωματικών είναι ίσα.

    Περισσότερες: Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών (Γ΄ Γυμνασίου)

  5. Η θεμελιώδης σχέση της τριγωνομετρίας είναι:

    • ημ²ω + συν²ω = 1
    • ημ²ω − συν²ω = 1
    • ημω + συνω = 1
    • ημω · συνω = 1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ημ²ω + συν²ω = 1. Προέρχεται από x² + y² = ρ².

    Περισσότερες: Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (Γ΄ Γυμνασίου)

  6. Το ημ(π − x) ισούται με:

    • ημx
    • συνx
    • −ημx
    • −συνx
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ημx. Παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίσα ημίτονα.

    Περισσότερες: Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

ΓεωμετρίαΚομπιουτεράκιΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Τριγωνομετρικές εξισώσεις και τύποιΝόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνωνΦυσικοί αριθμοίΚλάσματαΔεκαδικοί αριθμοίΣτρογγυλοποίησηΠοσοστάΑνάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσάΌλα τα θέματα →