MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Πυθαγόρειο θεώρημα

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών: α² = β² + γ². Εδώ θα βρεις το θεώρημα και το αντίστροφό του, εφαρμογές του σε σχήματα, και τη γενίκευσή του για τυχαίο τρίγωνο.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Πυθαγόρειο θεώρημα · Β΄ Γυμνασίου →

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

 = 90°  ⇒  α2 = β2 + γ2  (α η υποτείνουσα)
β2 = α2 − γ2  γ2 = α2 − β2

Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (η ορθή γωνία είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά).

Διαγώνιος τετραγώνου πλευράς α: δ = α√2  Διαγώνιος ορθογωνίου α × β: δ = √α2 + β2

Ορθές προβολές · Β΄ Λυκείου →

Ορθή προβολή ενός σημείου A σε μια ευθεία ε είναι το ίχνος A′ της κάθετης από το A στην ε (αν το A ανήκει στην ε, η προβολή του είναι το ίδιο).

Ορθή προβολή ενός ευθύγραμμου τμήματος AB στην ε είναι το τμήμα A′B′ με άκρα τις προβολές των άκρων του.

Πυθαγόρειο θεώρημα – Γεωμετρικές κατασκευές · Β΄ Λυκείου →

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης αυτής στην υποτείνουσα: AB2 = BΓ · BΔ και AΓ2 = BΓ · ΓΔ.
Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας: β2 + γ2 = α2.
Αντίστροφο: αν σε τρίγωνο ABΓ ισχύει β2 + γ2 = α2, τότε Â = 90°.
Το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι μέση ανάλογη των προβολών των κάθετων πλευρών: AΔ2 = BΔ · ΔΓ.
β2 = α · ΔΓ  γ2 = α · BΔ  υ2 = BΔ · ΔΓ  β · γ = α · υ  1υ2 = 1β2 + 1γ2

Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος · Β΄ Λυκείου →

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή: α2 = β2 + γ2 − 2β · AΔ (Â < 90°).
Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή: α2 = β2 + γ2 + 2β · AΔ (Â > 90°).
Αν α η μεγαλύτερη πλευρά τριγώνου: α2 < β2 + γ2 ⇔ το τρίγωνο είναι οξυγώνιο· α2 = β2 + γ2 ⇔ ορθογώνιο· α2 > β2 + γ2 ⇔ αμβλυγώνιο.
Σε κάθε τρίγωνο ABΓ ισχύει α2 = β2 + γ2 − 2βγ συνA.
 = 60°: α2 = β2 + γ2 − βγ   = 120°: α2 = β2 + γ2 + βγ   = 45°: α2 = β2 + γ2 − βγ√2

Λυμένες ασκήσεις: Πυθαγόρειο θεώρημα

Πυθαγόρειο: άγνωστη πλευρά

Από το μάθημα «Πυθαγόρειο θεώρημα» · Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου

Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 20 cm και 21 cm. Πόσο είναι το ύψος προς την υποτείνουσα;
Υποδείξεις
  • Βρες την υποτείνουσα με Πυθαγόρειο.
  • Εμβαδόν με δύο τρόπους: ½·κάθετη·κάθετη = ½·υποτείνουσα·υ.
Λύση και απάντηση
  1. Υποτείνουσα: 29.
  2. υ = 20·21/29 = 42029.

Απάντηση: 42029

Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

Από το μάθημα «Πυθαγόρειο θεώρημα – Γεωμετρικές κατασκευές» · Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) έχει κάθετες πλευρές 6 και 8. Βρες το ύψος ΑΔ προς την υποτείνουσα.
Υποδείξεις
  • ΒΓ = 10 (Πυθαγόρειο). Και ΑΔ = ΑΒ · ΑΓΒΓ (από το εμβαδόν).
Λύση και απάντηση
  1. ΒΓ = √(62 + 82) = 10.
  2. ΑΔ = 6 · 810 = 245.

Απάντηση: ΑΔ = 245

Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες

Από το μάθημα «Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος» · Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Ένα τρίγωνο έχει πλευρές 13, 8, 6. Τι είδους είναι ως προς τις γωνίες του;
  1. Αμβλυγώνιο
  2. Οξυγώνιο
  3. Ορθογώνιο
Υποδείξεις
  • Σύγκρινε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο.
Λύση και απάντηση
  1. Μεγαλύτερη πλευρά: 13, 132 = 169.
  2. Άθροισμα τετραγώνων των άλλων: 100.
  3. 169 > 100 ⇒ αμβλυγώνιο.

Απάντηση: Αμβλυγώνιο

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 4 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4, η υποτείνουσα είναι:

    • 12
    • 25
    • 5
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 5. 3² + 4² = 25, άρα υποτείνουσα 5.

    Περισσότερες: Πυθαγόρειο θεώρημα (Β΄ Γυμνασίου)

  2. Η ορθή προβολή ενός σημείου σε μια ευθεία είναι:

    • οποιοδήποτε σημείο της ευθείας
    • το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία
    • το μέσο του τμήματος
    • το σημείο τομής με μια παράλληλη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: το ίχνος της κάθετης από το σημείο προς την ευθεία. Φέρνουμε κάθετη από το σημείο προς την ευθεία.

    Περισσότερες: Ορθές προβολές (Β΄ Λυκείου)

  3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90° ισχύει:

    • α² + β² = γ²
    • β + γ = α
    • β² + γ² = α²
    • βγ = α²
    Δες την απάντηση

    Σωστό: β² + γ² = α². Το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών.

    Περισσότερες: Πυθαγόρειο θεώρημα – Γεωμετρικές κατασκευές (Β΄ Λυκείου)

  4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α οξεία, αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, ισχύει:

    • α² = β² + γ²
    • α² = β² + γ² + 2β·ΑΔ
    • α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ
    • α² = β² − γ²
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α² = β² + γ² − 2β·ΑΔ. Η πλευρά απέναντι από οξεία γωνία.

    Περισσότερες: Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

ΓεωμετρίαΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Γεωμετρικοί τόποι και κατασκευέςΝόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνωνΤρίγωναΚριτήρια ισότητας τριγώνωνΘεώρημα του ΘαλήΌμοια τρίγωνα και ομοιότηταΓωνίεςΠαράλληλες ευθείεςΌλα τα θέματα →