MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Παράλληλες ευθείες

Δύο ευθείες του επιπέδου είναι παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Όταν τις τέμνει μια τρίτη ευθεία σχηματίζονται εντός εναλλάξ, εντός εκτός και επί τα αυτά, και εντός και επί τα αυτά γωνίες, με σχέσεις που χρησιμοποιούμε συνεχώς στη Γεωμετρία.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γεωμετρία Α΄ Γυμνασίου

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Θέσεις ευθειών στο επίπεδο – Παράλληλες ευθείες · Α΄ Γυμνασίου →

Δύο ευθείες ενός επιπέδου λέγονται παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο κι αν προεκταθούν. Γράφουμε ε ∥ δ.

Από ένα σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή.

Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων · Α΄ Γυμνασίου →

Από ένα σημείο A εκτός ευθείας ε φέρνουμε μία μόνο κάθετη προς την ε· το σημείο τομής B λέγεται ίχνος (ή προβολή) του A.

Απόσταση του σημείου A από την ευθεία ε είναι το μήκος του κάθετου τμήματος AB.

Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών είναι το μήκος οποιουδήποτε τμήματος κάθετου και στις δύο, με άκρα πάνω σε αυτές.

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από άλλη ευθεία · Α΄ Γυμνασίου →

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη ευθεία, τότε σχηματίζουν:

Αντίστροφα: αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες (ή εντός εκτός και επί τα αυτά ίσες, ή εντός και επί τα αυτά παραπληρωματικές), τότε είναι παράλληλες.

Παράλληλες ευθείες – Παράλληλες τεμνόμενες από τρίτη · Α΄ Λυκείου →

Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες.

Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία μόνο ευθεία παράλληλη προς αυτή.

Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τις εντός εκτός και επί τα αυτά ίσες και τις εντός και επί τα αυτά παραπληρωματικές (αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος).
Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 180°, τότε τέμνονται προς το μέρος αυτών των γωνιών.

Γωνίες με πλευρές παράλληλες ή κάθετες · Α΄ Λυκείου →

Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή και οι δύο αμβλείες, και παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

Λυμένες ασκήσεις: Παράλληλες ευθείες

Θέσεις ευθειών

Από το μάθημα «Θέσεις ευθειών στο επίπεδο – Παράλληλες ευθείες» · Γεωμετρία Α΄ Γυμνασίου

Να συμπληρώσετε: «Αν ε₁ ∥ ε₂ και ε₂ ∥ ε₃, τότε οι ε₁ και ε₃ είναι …»
  1. παράλληλες
  2. κάθετες
  3. τεμνόμενες αλλά όχι κάθετες
Υποδείξεις
  • Κάνε ένα πρόχειρο σχήμα.
Λύση και απάντηση
  1. «Αν ε₁ ∥ ε₂ και ε₂ ∥ ε₃, τότε οι ε₁ και ε₃ είναι παράλληλες».

Απάντηση: παράλληλες

Γωνίες παραλλήλων με άγνωστο

Από το μάθημα «Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από άλλη ευθεία» · Γεωμετρία Α΄ Γυμνασίου

Δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη. Δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι (4x + 30)° και (x + 15)°. Να βρείτε το x και τη γωνία (4x + 30)°.
Υποδείξεις
  • Εντός εναλλάξ και εντός εκτός και επί τα αυτά: ίσες.
  • Εντός και επί τα αυτά: παραπληρωματικές.
Λύση και απάντηση
  1. (4x + 30) + (x + 15) = 180 ⇒ x = 27.
  2. Γωνία: 138°.

Απάντηση: x = 27  ·  γωνία = 138

Γωνίες με κάθετες πλευρές

Από το μάθημα «Γωνίες με πλευρές παράλληλες ή κάθετες» · Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

Δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους κάθετες μία προς μία· η μία είναι οξεία και η άλλη οξεία. Αν είναι (3x + 16)° και (x + 68)°, να βρείτε το x.
Υποδείξεις
  • Γωνίες με πλευρές κάθετες είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες (ή και οι δύο αμβλείες), παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.
Λύση και απάντηση
  1. 3x + 16 = x + 68 ⇒ x = 26.

Απάντηση: 26

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 5 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται:

    • Ίσες
    • Κάθετες
    • Παράλληλες
    • Τεμνόμενες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Παράλληλες. Παράλληλες είναι οι ευθείες που δεν τέμνονται.

    Περισσότερες: Θέσεις ευθειών στο επίπεδο – Παράλληλες ευθείες (Α΄ Γυμνασίου)

  2. Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι το μήκος:

    • Οποιουδήποτε τμήματος
    • Του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος από το σημείο προς την ευθεία
    • Του μέσου
    • Του μεγαλύτερου τμήματος
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος από το σημείο προς την ευθεία. Η μικρότερη απόσταση είναι η κάθετη.

    Περισσότερες: Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων (Α΄ Γυμνασίου)

  3. Δύο παράλληλες που τέμνονται από τρίτη ευθεία σχηματίζουν ίσες γωνίες, όταν αυτές είναι:

    • Διαδοχικές
    • Εντός εναλλάξ
    • Εντός και επί τα αυτά
    • Εφεξής στην τέμνουσα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Εντός εναλλάξ. Οι εντός εναλλάξ είναι ίσες.

    Περισσότερες: Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από άλλη ευθεία (Α΄ Γυμνασίου)

  4. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου λέγονται παράλληλες όταν:

    • Έχουν δύο κοινά σημεία
    • Δεν έχουν κοινό σημείο
    • Είναι ίσες σε μήκος
    • Τέμνονται κάθετα
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Δεν έχουν κοινό σημείο. Ορισμός παραλλήλων.

    Περισσότερες: Παράλληλες ευθείες – Παράλληλες τεμνόμενες από τρίτη (Α΄ Λυκείου)

  5. Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες και ομόρροπες είναι:

    • Ίσες
    • Ορθές
    • Παραπληρωματικές πάντα
    • Συμπληρωματικές
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Ίσες. Ίδια κατεύθυνση ⇒ ίσες.

    Περισσότερες: Γωνίες με πλευρές παράλληλες ή κάθετες (Α΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

ΓεωμετρίαΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΓωνίεςΤρίγωναΚριτήρια ισότητας τριγώνωνΠυθαγόρειο θεώρημαΘεώρημα του ΘαλήΌμοια τρίγωνα και ομοιότηταΠαραλληλόγραμμα και τραπέζιαΣυμμετρίαΌλα τα θέματα →