MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Θεώρημα του Θαλή

Το θεώρημα του Θαλή λέει ότι, όταν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν πάνω τους τμήματα ανάλογα. Εδώ θα βρεις τον λόγο ευθυγράμμων τμημάτων, τα ανάλογα τμήματα, το θεώρημα και τις εφαρμογές του στα τρίγωνα, καθώς και τα θεωρήματα των διχοτόμων.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων · Γ΄ Γυμνασίου →

Λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων AB και ΓΔ λέγεται ο αριθμός λ για τον οποίο AB = λ · ΓΔ. Γράφουμε ABΓΔ = λ.

Τα τμήματα α, γ λέγονται ανάλογα προς τα β, δ όταν αβ = γδ· η ισότητα αυτή λέγεται αναλογία.

αβ = γδ ⇔ α · δ = β · γ
αβ = γδ ⇔ αγ = βδ  (εναλλαγή μέσων όρων)
αβ = γδ = α + γβ + δ

Θεώρημα του Θαλή · Γ΄ Γυμνασίου →

Αν τρεις (ή περισσότερες) παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη.

ε1 ∥ ε2 ∥ ε3  ⇒  ABBΓ = A′B′B′Γ′  και  ABAΓ = A′B′A′Γ′

Μια ευθεία παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές σε ανάλογα τμήματα.

ΔE ∥ BΓ  ⇒  AΔΔB = AEEΓ  και  AΔAB = AEAΓ = ΔEBΓ

Ανάλογα τμήματα – Αναλογίες · Β΄ Λυκείου →

Τα τμήματα α, γ, ε, … λέγονται ανάλογα προς τα β, δ, ζ, … όταν αβ = γδ = εζ = … Η ισότητα δύο λόγων λέγεται αναλογία· ο κοινός λόγος λέγεται λόγος της αναλογίας.

αβ = γδ ⇔ αδ = βγ
αβ = γδ ⇔ αγ = βδ  (εναλλαγή μέσων)  αβ = γδ ⇔ βα = δγ
αβ = γδ ⇔ α ± ββ = γ ± δδ  αβ = γδ ⇔ αα ± β = γγ ± δ
αβ = γδ = εζ = α + γ + εβ + δ + ζ

Διαίρεση τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο · Β΄ Λυκείου →

Για κάθε θετικό αριθμό λ υπάρχει μοναδικό σημείο M του τμήματος AB (εσωτερικό) τέτοιο ώστε MAMB = λ.
Για κάθε θετικό λ ≠ 1 υπάρχει μοναδικό σημείο M′ στην προέκταση του AB (εξωτερικό) τέτοιο ώστε M′AM′B = λ.
Αν AB = α: MA = λαλ + 1,  M′A = λαλ − 1 (λ > 1)

Θεωρήματα των διχοτόμων – Απολλώνιος κύκλος · Β΄ Λυκείου →

Η διχοτόμος AΔ μιας γωνίας τριγώνου ABΓ διαιρεί εσωτερικά την απέναντι πλευρά σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών: ΔBΔΓ = ABAΓ = γβ.
ΔB = αγβ + γ  ΔΓ = αββ + γ
Αντίστροφο: αν σημείο Δ της πλευράς BΓ ικανοποιεί ΔBΔΓ = ABAΓ, τότε η AΔ είναι διχοτόμος της Â.
Η εξωτερική διχοτόμος AE της γωνίας Â τριγώνου ABΓ (με β ≠ γ) διαιρεί εξωτερικά την πλευρά BΓ σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών: EBEΓ = γβ.
EB = αγ∣β − γ∣  EΓ = αβ∣β − γ∣

Λυμένες ασκήσεις: Θεώρημα του Θαλή

Διαίρεση τμήματος σε λόγο

Από το μάθημα «Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων» · Γεωμετρία Γ΄ Γυμνασίου

Σημείο Μ του τμήματος ΑΒ = 55 cm το χωρίζει έτσι ώστε ΑΜΜΒ = 74. Να βρείτε τα ΑΜ, ΜΒ και τον λόγο ΑΜΑΒ.
Υποδείξεις
  • ΑΜ = 7κ, ΜΒ = 4κ, και ΑΜ + ΜΒ = 55.
Λύση και απάντηση
  1. κ = 5 ⇒ ΑΜ = 35, ΜΒ = 20.
  2. ΑΜ/ΑΒ = 711.

Απάντηση: ΑΜ = 35  ·  ΜΒ = 20  ·  ΑΜ/ΑΒ = 711

Εσωτερική και εξωτερική διαίρεση

Από το μάθημα «Διαίρεση τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο» · Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Τμήμα ΑΒ = 30. Το Μ το διαιρεί εσωτερικά και το Ν εξωτερικά στον λόγο 1 : 4 (δηλαδή ΜΑ/ΜΒ = ΝΑ/ΝΒ = 14). Να βρείτε τα ΜΑ και ΝΑ.
Υποδείξεις
  • Εσωτερικά: ΜΑ = λλ + 1·ΑΒ με λ = 14.
  • Εξωτερικά: ΝΑ − ΝΒ = ±ΑΒ, άρα ΝΑ = 1·ΑΒ|1 − 4|.
Λύση και απάντηση
  1. ΜΑ = 1/5·30 = 6.
  2. ΝΑ = 1/3·30 = 10.

Απάντηση: ΜΑ = 6  ·  ΝΑ = 10

Θεώρημα Θαλή στον χώρο

Από το μάθημα «Ευθείες και επίπεδα παράλληλα – Θεώρημα του Θαλή στον χώρο» · Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Τρία παράλληλα επίπεδα τέμνουν δύο ευθείες ε₁ και ε₂. Στην ε₁ ορίζουν τμήματα ΑΒ = 3 και ΒΓ = 3, ενώ στην ε₂ το πρώτο τμήμα είναι Α′Β′ = 2. Να βρείτε το Β′Γ′.
Υποδείξεις
  • Θαλής στον χώρο: ΑΒΒΓ = Α′Β′Β′Γ′.
Λύση και απάντηση
  1. Β′Γ′ = 3·2/3 = 2.

Απάντηση: 2

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ = 6 και ΓΔ = 9 είναι:

    • 13
    • 23
    • 32
    • 610
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 23. 6/9 = 2/3.

    Περισσότερες: Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων (Γ΄ Γυμνασίου)

  2. Το θεώρημα του Θαλή λέει ότι παράλληλες ευθείες που τέμνουν δύο ευθείες ορίζουν:

    • Ίσα τμήματα πάντα
    • Ίσες γωνίες
    • Ανάλογα τμήματα
    • Κάθετες ευθείες
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Ανάλογα τμήματα. Τα τμήματα που ορίζονται είναι ανάλογα.

    Περισσότερες: Θεώρημα του Θαλή (Γ΄ Γυμνασίου)

  3. Τα τμήματα α, β, γ, δ λέγονται ανάλογα όταν:

    • α + β = γ + δ
    • α − β = γ − δ
    • α/β = γ/δ
    • α·γ = β·δ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: α/β = γ/δ. Ορισμός της αναλογίας.

    Περισσότερες: Ανάλογα τμήματα – Αναλογίες (Β΄ Λυκείου)

  4. Ένα σημείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ΑΒ σε λόγο λ όταν:

    • ΜΑ = λ
    • ΜΑ·ΜΒ = λ
    • το Μ είναι εκτός του ΑΒ και ΜΑ/ΜΒ = λ
    • το Μ είναι σημείο του ΑΒ και ΜΑ/ΜΒ = λ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: το Μ είναι σημείο του ΑΒ και ΜΑ/ΜΒ = λ. Εσωτερική διαίρεση: το Μ ανάμεσα στα Α, Β.

    Περισσότερες: Διαίρεση τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο (Β΄ Λυκείου)

  5. Αν ΑΔ είναι η εσωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε:

    • ΔΒ = ΔΓ πάντα
    • ΔΒ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ
    • ΔΒ/ΔΓ = ΑΓ/ΑΒ
    • ΔΒ/ΔΓ = ΒΓ/ΑΒ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ΔΒ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ. Η διχοτόμος χωρίζει την απέναντι πλευρά σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών.

    Περισσότερες: Θεωρήματα των διχοτόμων – Απολλώνιος κύκλος (Β΄ Λυκείου)

  6. Μια ευθεία είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο όταν:

    • έχουν ένα κοινό σημείο
    • έχουν δύο κοινά σημεία
    • δεν έχουν κοινό σημείο
    • η ευθεία είναι κάθετη σε αυτό
    Δες την απάντηση

    Σωστό: δεν έχουν κοινό σημείο. Ορισμός.

    Περισσότερες: Ευθείες και επίπεδα παράλληλα – Θεώρημα του Θαλή στον χώρο (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

ΓεωμετρίαΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Λόγος και αναλογίαΤρίγωναΚριτήρια ισότητας τριγώνωνΠυθαγόρειο θεώρημαΌμοια τρίγωνα και ομοιότηταΓωνίεςΠαράλληλες ευθείεςΠαραλληλόγραμμα και τραπέζιαΌλα τα θέματα →