MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Συνέχεια συνάρτησης

Μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της όταν το όριό της στο x₀ ισούται με f(x₀)· γραφικά, η καμπύλη «δεν κόβεται» εκεί. Εδώ θα βρεις τον ορισμό, τις πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις και τα βασικά θεωρήματα της συνέχειας, όπως το θεώρημα Bolzano.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Όριο και συνέχεια συνάρτησης · Γ΄ Λυκείου →

Γράφουμε limx→x0 f(x) = ℓ όταν οι τιμές f(x) πλησιάζουν όσο θέλουμε τον αριθμό ℓ, για x αρκετά κοντά στο x0 (x ≠ x0).

lim (f ± g) = lim f ± lim g  lim (κf) = κ lim f  lim (f · g) = lim f · lim g
lim fg = lim flim g (lim g ≠ 0)  lim |f| = |lim f|  lim √f = √lim f (f ≥ 0)  lim fν = (lim f)ν
limx→x0 c = c  limx→x0 x = x0
Για πολυώνυμο P: limx→x0 P(x) = P(x0). Για ρητή PQ με Q(x0) ≠ 0: limx→x0 P(x)Q(x) = P(x0)Q(x0).

Συνέχεια συνάρτησης · Γ΄ Λυκείου →

Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν limx→x0 f(x) = f(x0).

Συνεχής συνάρτηση λέγεται αυτή που είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Αν f, g συνεχείς στο x0, τότε συνεχείς στο x0 είναι και οι f + g, cf, fg, fg (g(x0) ≠ 0), |f|, ν√f. Αν f συνεχής στο x0 και g συνεχής στο f(x0), τότε η g ∘ f είναι συνεχής στο x0.

Η f είναι συνεχής σε ανοικτό διάστημα (α, β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του. Είναι συνεχής σε κλειστό [α, β] όταν είναι συνεχής στο (α, β) και limx→α+ f(x) = f(α), limx→β− f(x) = f(β).

Θεώρημα Bolzano. Έστω f ορισμένη σε κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) · f(β) < 0, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (α, β) ώστε f(x0) = 0.

Λυμένες ασκήσεις: Συνέχεια συνάρτησης

Όριο μορφής 0/0

Από το μάθημα «Όριο και συνέχεια συνάρτησης» · Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Να υπολογίσετε το limx→−1 x2 + 4x + 3x2 + x
Υποδείξεις
  • Για x = −1 μηδενίζονται αριθμητής και παρονομαστής.
  • Παραγοντοποίησε και απλοποίησε το (x + 1).
Λύση και απάντηση
  1. Κοινός παράγοντας: (x + 1).
  2. Μένει x + 3x .
  3. Όριο: −2.

Απάντηση: −2

Συνέχεια συνάρτησης με τρεις κλάδους

Από το μάθημα «Συνέχεια συνάρτησης» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = {αx + 6,  x < 1x² + βx,  1 ≤ x ≤ 2αx² + 22,  x > 2. Να βρείτε α και β ώστε η f να είναι συνεχής στο ℝ.
Υποδείξεις
  • Συνέχεια στο 1: τα πλευρικά όρια και η τιμή f(1) πρέπει να είναι ίσα.
  • Συνέχεια στο 2: f(2) = 4 + 2β = limx→2+ f(x) = 4α + 22.
Λύση και απάντηση
  1. Στο 1: α + 6 = 1 + β.
  2. Στο 2: 4 + 2β = 4α + 22.
  3. Από την πρώτη β = α + 5· αντικαθιστούμε: 4 + 2α + 10 = 4α + 22 ⇒ α = −4, β = 1.

Απάντηση: α = −4  ·  β = 1

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 2 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το lim(x→2) (3x + 1) είναι:

    • 5
    • 6
    • 7
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7. Πολυωνυμική: αντικαθιστούμε.

    Περισσότερες: Όριο και συνέχεια συνάρτησης (Γ΄ Λυκείου)

  2. Η f είναι συνεχής στο x₀ ∈ Df όταν:

    • f(x₀) = 0
    • lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
    • η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀
    • το όριο είναι +∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Ορισμός.

    Περισσότερες: Συνέχεια συνάρτησης (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Όρια συναρτήσεωνΣυναρτήσειςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Όρια συναρτήσεωνΣυναρτήσειςΗ συνάρτηση y = αx + βΗ συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)ΛογάριθμοιΜονοτονία και ακρόταταΜελέτη συνάρτησηςΠαράγωγοςΌλα τα θέματα →