MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Μελέτη συνάρτησης

Μελέτη συνάρτησης σημαίνει να βρούμε πεδίο ορισμού, μονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα, σημεία καμπής και ασύμπτωτες, ώστε να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση. Εδώ θα τη βρεις από τις βασικές συναρτήσεις της Α΄ Λυκείου μέχρι την πλήρη μελέτη της Γ΄ Λυκείου.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ · Α΄ Λυκείου →

y = αx2 + βx + γ: παραβολή με κορυφή K(−β2α, −Δ4α)

Κυρτότητα – Σημεία καμπής · Γ΄ Λυκείου →

Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Η f λέγεται κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο Δ όταν η f′ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ, και κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) όταν η f′ είναι γνησίως φθίνουσα.

Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν f″(x) > 0 για κάθε εσωτερικό x, η f είναι κυρτή στο Δ. Αν f″(x) < 0, η f είναι κοίλη στο Δ.

Έστω f παραγωγίσιμη σε (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x0 στο οποίο είναι συνεχής. Αν η f είναι κυρτή στο (α, x0) και κοίλη στο (x0, β) (ή αντίστροφα) και η Cf έχει εφαπτομένη στο A(x0, f(x0)), τότε το A λέγεται σημείο καμπής.

Αν το A(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής της Cf και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x0, τότε f″(x0) = 0.

Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital · Γ΄ Λυκείου →

Η ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf αν ένα τουλάχιστον από τα limx→x0+ f(x), limx→x0− f(x) είναι +∞ ή −∞.

Η ευθεία y = ℓ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ (αντίστοιχα στο −∞) αν limx→+∞ f(x) = ℓ (αντίστοιχα limx→−∞ f(x) = ℓ).

Η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη (πλάγια αν λ ≠ 0) της Cf στο +∞ αν limx→+∞ [f(x) − (λx + β)] = 0. Ανάλογα στο −∞.

Η y = λx + β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ αν και μόνο αν limx→+∞ f(x)x = λ ∈ ℝ και limx→+∞ [f(x) − λx] = β ∈ ℝ. Ανάλογα στο −∞.
(Μορφή 00) Αν limx→x0 f(x) = 0, limx→x0 g(x) = 0, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞, +∞}, και υπάρχει το limx→x0 f′(x)g′(x) (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε limx→x0 f(x)g(x) = limx→x0 f′(x)g′(x).

Λυμένες ασκήσεις: Μελέτη συνάρτησης

Παραβολή από σημείο

Από το μάθημα «Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx²» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Η παραβολή y = αx² διέρχεται από το Α(−1, −2). Να βρείτε το α και τις τετμημένες των σημείων της που έχουν τεταγμένη −6.
Υποδείξεις
  • Αντικατάστησε το Α.
  • Λύσε αx² = −6.
Λύση και απάντηση
  1. α = −2/1 = −2.
  2. x² = 3 ⇒ x = ±√3.

Απάντηση: α = −2  ·  x (θετική) = 1,7320508076

Παραβολή από τρία σημεία

Από το μάθημα «Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Η παραβολή y = αx² + βx + γ διέρχεται από τα σημεία (0, −6), (1, −1) και (−1, −7). Να βρείτε α, β, γ.
Υποδείξεις
  • Από το (0, …): γ = −6.
  • Από τα άλλα δύο: α + β = 5 και α − β = −1.
Λύση και απάντηση
  1. γ = −6, α = 2, β = 3.

Απάντηση: α = 2  ·  β = 3  ·  γ = −6

Πλήθος ριζών κυβικής εξίσωσης

Από το μάθημα «Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση x³ − 12x − 21 = 0;
Υποδείξεις
  • Μελέτησε την g(x) = x³ − 12x: ακρότατα στα ±2.
  • Η εξίσωση γράφεται g(x) = 21· σύγκρινε με τις τιμές των ακροτάτων.
Λύση και απάντηση
  1. g′(x) = 3x² − 12 = 0 ⇔ x = ±2.
  2. Τοπικό μέγιστο g(−2) = 16, τοπικό ελάχιστο g(2) = −16.
  3. Η ευθεία y = 21 είναι έξω από το [−16, 16]: 1 ρίζα.

Απάντηση: 1

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η γραφική παράσταση της f(x) = αx² είναι:

    • Ευθεία
    • Κύκλος
    • Παραβολή
    • Υπερβολή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Παραβολή. Παραβολή με κορυφή το Ο.

    Περισσότερες: Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² (Α΄ Λυκείου)

  2. Η γραφική παράσταση της f(x) = αx είναι:

    • Ευθεία
    • Κύκλος
    • Παραβολή
    • Υπερβολή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Υπερβολή. Δύο κλάδοι.

    Περισσότερες: Μελέτη της συνάρτησης f(x) = α/x (Α΄ Λυκείου)

  3. Η κορυφή της παραβολής y = αx² + βx + γ έχει τετμημένη:

    • β2α
    • γα
    • −β2α
    • −β
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −β2α. Τύπος κορυφής.

    Περισσότερες: Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ (Α΄ Λυκείου)

  4. Αν f″(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ, η f είναι στο Δ:

    • γνησίως φθίνουσα
    • κοίλη
    • κυρτή
    • σταθερή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: κυρτή. Η f′ είναι γνησίως αύξουσα.

    Περισσότερες: Κυρτότητα – Σημεία καμπής (Γ΄ Λυκείου)

  5. Η ευθεία x = x₀ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf αν:

    • f(x₀) = 0
    • f′(x₀) = 0
    • lim(x→+∞) f(x) = x₀
    • ένα πλευρικό όριο στο x₀ είναι +∞ ή −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ένα πλευρικό όριο στο x₀ είναι +∞ ή −∞. Ορισμός.

    Περισσότερες: Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital (Γ΄ Λυκείου)

  6. Η μελέτη μιας συνάρτησης ξεκινά με:

    • την ολοκλήρωση
    • το πεδίο ορισμού
    • το σύνολο τιμών
    • τον πίνακα τιμών μόνο
    Δες την απάντηση

    Σωστό: το πεδίο ορισμού. Πρώτα το Df.

    Περισσότερες: Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

ΣυναρτήσειςΓραφικές παραστάσειςΠαράγωγος & εφαπτομένηΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)Όρια συναρτήσεωνΣυναρτήσειςΗ συνάρτηση y = αx + βΛογάριθμοιΜονοτονία και ακρόταταΣυνέχεια συνάρτησηςΠαράγωγοςΌλα τα θέματα →