Λογάριθμοι

Ο λογάριθμος log_αθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τη βάση α για να πάρουμε τον αριθμό θ: log_αθ = x σημαίνει α^x = θ. Εδώ θα βρεις τις ιδιότητες των λογαρίθμων, την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση, εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις, με λυμένες ασκήσεις.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Εκθετική συνάρτηση · Β΄ Λυκείου →

α^xα^y = α^x+y α^xα^y = α^x−y (α^x)^y = α^xy (αβ)^x = α^xβ^x (αβ)^x = α^xβ^x

Εκθετική λέγεται η f(x) = α^x, με 0 < α ≠ 1. Έχει πεδίο ορισμού ℝ και σύνολο τιμών (0, +∞)· διέρχεται από το (0, 1).

α^x₁ = α^x₂ ⇔ x₁ = x₂

α > 1: α^x₁ < α^x₂ ⇔ x₁ < x₂ 0 < α < 1: α^x₁ < α^x₂ ⇔ x₁ > x₂

Ανατοκισμός: K_ν = K₀(1 + ε)^ν Συνεχής ανατοκισμός/εκθετική μεταβολή: Q(t) = Q₀e^ct

Λογάριθμοι · Β΄ Λυκείου →

Αν α > 0, α ≠ 1 και θ > 0, λογάριθμος του θ με βάση α, log_αθ, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε το α για να βρούμε θ:

log_αθ = x ⇔ α^x = θ

log_αα^x = x α^log_αθ = θ log_α1 = 0 log_αα = 1

Αν α > 0, α ≠ 1, θ₁, θ₂, θ > 0 και κ ∈ ℝ, τότε: log_α(θ₁θ₂) = log_αθ₁ + log_αθ₂, log_αθ₁θ₂ = log_αθ₁ − log_αθ₂, log_αθ^κ = κ log_αθ.

log_α^ν√θ = 1νlog_αθ

Λογαριθμική συνάρτηση · Β΄ Λυκείου →

Η f(x) = log_αx, 0 < α ≠ 1, έχει πεδίο ορισμού (0, +∞) και σύνολο τιμών ℝ· διέρχεται από το (1, 0). Είναι η αντίστροφη της α^x: οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

log x₁ = log x₂ ⇔ x₁ = x₂ log x₁ < log x₂ ⇔ x₁ < x₂ (x₁, x₂ > 0)

ln x₁ = ln x₂ ⇔ x₁ = x₂ ln x₁ < ln x₂ ⇔ x₁ < x₂

Λυμένες ασκήσεις: Λογάριθμοι

Εκθετική εξίσωση με κοινό παράγοντα

Από το μάθημα «Εκθετική συνάρτηση» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να λύσετε την εξίσωση 5^{x + 2} + 5^x = 3250.

Υποδείξεις

Βγάλε κοινό παράγοντα 5^x.
5^x(5² + 1) = 3250.

Λύση και απάντηση

5^x·26 = 3250 ⇒ 5^x = 125.
x = 3.

Απάντηση: 3

Αλλαγή βάσης

Από το μάθημα «Λογάριθμοι» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να υπολογίσετε το log₉8·log₂3.

Υποδείξεις

log_αβ·log_βγ = log_αγ.
Ή γράψε κάθε λογάριθμο με ln: ln β/ln α.

Λύση και απάντηση

log₉8·log₂3 = 1,5.

Απάντηση: 1,5

Λογαριθμική εξίσωση με αντικατάσταση

Από το μάθημα «Λογαριθμική συνάρτηση» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να λύσετε την εξίσωση (log x)² + 3log x + 2 = 0.

Υποδείξεις

Θέσε y = log x (x > 0).
Λύσε τη δευτεροβάθμια ως προς y και μετά x = 10^y.

Λύση και απάντηση

y² + 3y + 2 = 0 ⇒ y = −2 ή y = −1.
x = 10⁻² = 0,01 ή x = 10⁻¹ = 0,1.

Απάντηση: 0,01 ή 0,1

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 3 ερωτήσεις με απαντήσεις

Η f(x) = αˣ με α > 1 είναι:
- άρτια
- γνησίως αύξουσα
- γνησίως φθίνουσα
- σταθερή
Δες την απάντηση
Σωστό: γνησίως αύξουσα. Για βάση μεγαλύτερη του 1 η εκθετική αυξάνεται.
Περισσότερες: Εκθετική συνάρτηση (Β΄ Λυκείου)
Η ισότητα logₐθ = x σημαίνει:
- xᵃ = θ
- α·x = θ
- αˣ = θ
- θˣ = α
Δες την απάντηση
Σωστό: αˣ = θ. Ο λογάριθμος είναι ο εκθέτης στον οποίο υψώνουμε τη βάση.
Περισσότερες: Λογάριθμοι (Β΄ Λυκείου)
Η f(x) = lnx έχει πεδίο ορισμού:
- (0, +∞)
- [0, +∞)
- ℝ
- ℝ*
Δες την απάντηση
Σωστό: (0, +∞). Ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για θετικούς αριθμούς.
Περισσότερες: Λογαριθμική συνάρτηση (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Συναρτήσεις Κομπιουτεράκι Λύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Συναρτήσεις Η συνάρτηση y = αx + β Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)Μονοτονία και ακρότατα Μελέτη συνάρτησης Όρια συναρτήσεων Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγος Όλα τα θέματα →