MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Όρια συναρτήσεων

Το όριο περιγράφει σε ποια τιμή πλησιάζει μια συνάρτηση f(x) όταν το x πλησιάζει έναν αριθμό x₀ ή το ±∞. Εδώ θα βρεις τις ιδιότητες των ορίων, τις απροσδιόριστες μορφές 00 και ∞∞, τα μη πεπερασμένα όρια, τα όρια στο άπειρο και τους κανόνες de l’Hospital.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Όριο και συνέχεια συνάρτησης · Γ΄ Λυκείου →

Γράφουμε limx→x0 f(x) = ℓ όταν οι τιμές f(x) πλησιάζουν όσο θέλουμε τον αριθμό ℓ, για x αρκετά κοντά στο x0 (x ≠ x0).

lim (f ± g) = lim f ± lim g  lim (κf) = κ lim f  lim (f · g) = lim f · lim g
lim fg = lim flim g (lim g ≠ 0)  lim |f| = |lim f|  lim √f = √lim f (f ≥ 0)  lim fν = (lim f)ν
limx→x0 c = c  limx→x0 x = x0
Για πολυώνυμο P: limx→x0 P(x) = P(x0). Για ρητή PQ με Q(x0) ≠ 0: limx→x0 P(x)Q(x) = P(x0)Q(x0).

Όριο συνάρτησης στο x₀ ∈ ℝ · Γ΄ Λυκείου →

Γράφουμε limx→x0 f(x) = ℓ και λέμε ότι η f έχει όριο στο x0 τον αριθμό ℓ, όταν οι τιμές f(x) προσεγγίζουν όσο θέλουμε το ℓ, για τα x που είναι αρκετά κοντά στο x0 (με x ≠ x0).

Αν το όριο υπάρχει, είναι μοναδικό.

limx→x0− f(x) = ℓ1: όριο από αριστερά (x < x0)· limx→x0+ f(x) = ℓ2: όριο από δεξιά (x > x0).

Αν η f ορίζεται σε (α, x0) ∪ (x0, β), τότε: limx→x0 f(x) = ℓ ⇔ limx→x0− f(x) = limx→x0+ f(x) = ℓ.
limx→x0 f(x) = ℓ ⇔ limx→x0 (f(x) − ℓ) = 0 ⇔ limh→0 f(x0 + h) = ℓ

Ιδιότητες των ορίων · Γ΄ Λυκείου →

Αν limx→x0 f(x) = ℓ1 και limx→x0 g(x) = ℓ2 (πραγματικοί αριθμοί), τότε:
lim (f + g) = ℓ1 + ℓ2  lim (κf) = κℓ1  lim (f · g) = ℓ1 · ℓ2
lim fg = ℓ1ℓ2 (ℓ2 ≠ 0)  lim |f| = |ℓ1|  lim κ√f = κ√ℓ1 (f ≥ 0 κοντά στο x0)
lim [f(x)]ν = ℓ1ν
Για πολυώνυμο P: limx→x0 P(x) = P(x0). Για ρητή PQ με Q(x0) ≠ 0: limx→x0 P(x)Q(x) = P(x0)Q(x0).

Μη πεπερασμένο όριο στο x₀ ∈ ℝ · Γ΄ Λυκείου →

limx→x0 f(x) = +∞ όταν οι τιμές f(x) γίνονται μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό, για x αρκετά κοντά στο x0. Ανάλογα το −∞.

limx→0 1x2 = +∞  limx→0+ 1x = +∞  limx→0− 1x = −∞
limx→0 1x2ν = +∞  limx→0± 1x2ν+1 = ±∞
limx→0+ ln x = −∞

Απροσδιόριστες μορφές: (+∞) + (−∞), 0 · (±∞), 00, ±∞±∞. Σε αυτές το όριο βρίσκεται με μετασχηματισμούς.

Όριο συνάρτησης στο άπειρο · Γ΄ Λυκείου →

limx→+∞ f(x) = ℓ όταν οι τιμές f(x) πλησιάζουν όσο θέλουμε το ℓ για x αρκετά μεγάλα (η f ορίζεται σε διάστημα (α, +∞)). Ανάλογα στο −∞ και για άπειρα όρια.

limx→+∞ xν = +∞  limx→−∞ xν = +∞ (ν άρτιος), −∞ (ν περιττός)
limx→±∞ 1xν = 0
Για πολυώνυμο: limx→±∞ (ανxν + … + α0) = limx→±∞ ανxν (αν ≠ 0).
Για ρητή συνάρτηση: limx→±∞ ανxν + …βκxκ + … = limx→±∞ ανxνβκxκ.

Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital · Γ΄ Λυκείου →

Η ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf αν ένα τουλάχιστον από τα limx→x0+ f(x), limx→x0− f(x) είναι +∞ ή −∞.

Η ευθεία y = ℓ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ (αντίστοιχα στο −∞) αν limx→+∞ f(x) = ℓ (αντίστοιχα limx→−∞ f(x) = ℓ).

Η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη (πλάγια αν λ ≠ 0) της Cf στο +∞ αν limx→+∞ [f(x) − (λx + β)] = 0. Ανάλογα στο −∞.

Η y = λx + β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ αν και μόνο αν limx→+∞ f(x)x = λ ∈ ℝ και limx→+∞ [f(x) − λx] = β ∈ ℝ. Ανάλογα στο −∞.
(Μορφή 00) Αν limx→x0 f(x) = 0, limx→x0 g(x) = 0, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞, +∞}, και υπάρχει το limx→x0 f′(x)g′(x) (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε limx→x0 f(x)g(x) = limx→x0 f′(x)g′(x).

Λυμένες ασκήσεις: Όρια συναρτήσεων

Όριο μορφής 0/0

Από το μάθημα «Όριο και συνέχεια συνάρτησης» · Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Να υπολογίσετε το limx→−1 x2 + 4x + 3x2 + x
Υποδείξεις
  • Για x = −1 μηδενίζονται αριθμητής και παρονομαστής.
  • Παραγοντοποίησε και απλοποίησε το (x + 1).
Λύση και απάντηση
  1. Κοινός παράγοντας: (x + 1).
  2. Μένει x + 3x .
  3. Όριο: −2.

Απάντηση: −2

Τριγωνομετρικό όριο

Από το μάθημα «Ιδιότητες των ορίων» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Να υπολογίσετε το limx→0 1 − συν(4x)x²
Υποδείξεις
  • 1 − συν(2θ) = 2ημ²θ.
  • Γράψε 1 − συν(4x) = 2ημ²(2x).
Λύση και απάντηση
  1. 1 − συν(4x) = 2ημ²(2x).
  2. 2ημ²(2x)/x² = 2·[ημ(2x)/x]² → 2·(2)² = 8.

Απάντηση: 8

Πλάγια ασύμπτωτη ρητής

Από το μάθημα «Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη y = λx + β της f(x) = x2 − 2xx − 4 στο +∞.
Υποδείξεις
  • λ = lim f(x)/x.
  • β = lim [f(x) − λx].
Λύση και απάντηση
  1. λ = lim x2 − 2xx² − 4x = 1.
  2. f(x) − 1x = 2xx − 4 → 2.
  3. Ασύμπτωτη: y = x + 2.

Απάντηση: λ = 1  ·  β = 2

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το lim(x→2) (3x + 1) είναι:

    • 5
    • 6
    • 7
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7. Πολυωνυμική: αντικαθιστούμε.

    Περισσότερες: Όριο και συνέχεια συνάρτησης (Γ΄ Λυκείου)

  2. Το lim(x→x₀) f(x) εξαρτάται από:

    • μόνο από την τιμή f(x₀)
    • την f′(x₀)
    • την τιμή της f στο 0
    • τις τιμές της f κοντά στο x₀
    Δες την απάντηση

    Σωστό: τις τιμές της f κοντά στο x₀. Η f μπορεί να μην ορίζεται στο x₀.

    Περισσότερες: Όριο συνάρτησης στο x₀ ∈ ℝ (Γ΄ Λυκείου)

  3. Αν lim f = 2 και lim g = 3 (στο x₀), τότε lim (f + g) =

    • 1
    • 2/3
    • 5
    • 6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 5. Όριο αθροίσματος.

    Περισσότερες: Ιδιότητες των ορίων (Γ΄ Λυκείου)

  4. Το lim(x→0) 1/x² είναι:

    • +∞
    • 0
    • δεν υπάρχει
    • −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: +∞. Θετικός παρονομαστής που τείνει στο 0.

    Περισσότερες: Μη πεπερασμένο όριο στο x₀ ∈ ℝ (Γ΄ Λυκείου)

  5. Το lim(x→+∞) 1/x είναι:

    • +∞
    • 0
    • 1
    • δεν υπάρχει
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Βασικό όριο.

    Περισσότερες: Όριο συνάρτησης στο άπειρο (Γ΄ Λυκείου)

  6. Η ευθεία x = x₀ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf αν:

    • f(x₀) = 0
    • f′(x₀) = 0
    • lim(x→+∞) f(x) = x₀
    • ένα πλευρικό όριο στο x₀ είναι +∞ ή −∞
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ένα πλευρικό όριο στο x₀ είναι +∞ ή −∞. Ορισμός.

    Περισσότερες: Ασύμπτωτες – Κανόνες de l'Hospital (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Όρια συναρτήσεωνΣυναρτήσειςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Μελέτη συνάρτησηςΣυνέχεια συνάρτησηςΣυναρτήσειςΗ συνάρτηση y = αx + βΗ συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)ΛογάριθμοιΜονοτονία και ακρόταταΠαράγωγοςΌλα τα θέματα →