Μονοτονία και ακρότατα
Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα) σε ένα διάστημα όταν, καθώς μεγαλώνει το x, μεγαλώνει (ή μικραίνει) και το f(x), και παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο (ακρότατο) σε ορισμένα σημεία. Εδώ θα βρεις πώς βρίσκουμε μονοτονία και ακρότατα, από τον ορισμό και με τη βοήθεια της παραγώγου, καθώς και προβλήματα βελτιστοποίησης.
Σε ποια μαθήματα θα το βρεις
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου
- 1.1α Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα
- 1.4α Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου
- 1.4β Προβλήματα βελτιστοποίησης
Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου
Βασικοί τύποι και κανόνες
Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης · Α΄ Λυκείου →
f γνησίως αύξουσα σε Δ: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Άρτια: f(−x) = f(x). Περιττή: f(−x) = −f(x).
Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες · Β΄ Λυκείου →
f γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ: για x1, x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει f(x1) < f(x2). Γνησίως φθίνουσα: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). Μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
Η f με πεδίο A παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x0 ∈ A όταν f(x) ≥ f(x0) για κάθε x ∈ A, και (ολικό) μέγιστο όταν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ A.
f άρτια: για κάθε x ∈ A ισχύει −x ∈ A και f(−x) = f(x). Η Cf είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y′y.
f περιττή: για κάθε x ∈ A ισχύει −x ∈ A και f(−x) = −f(x). Η Cf είναι συμμετρική ως προς την αρχή O.
Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα · Γ΄ Λυκείου →
Συνάρτηση από ένα σύνολο A σε ένα σύνολο B είναι μια διαδικασία f με την οποία κάθε στοιχείο x ∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο y = f(x) του B. Το A λέγεται πεδίο ορισμού, το x ανεξάρτητη και το y εξαρτημένη μεταβλητή.
Σύνολο τιμών f(A): όλες οι τιμές f(x) για x ∈ A.
Γραφική παράσταση Cf: το σύνολο των σημείων M(x, f(x)), x ∈ A.
f γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x1 < x2 στο Δ ισχύει f(x1) < f(x2)· γνησίως φθίνουσα όταν f(x1) > f(x2).
Η f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x0 όταν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ A, και (ολικό) ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x0).
Προβλήματα βελτιστοποίησης · Γ΄ Λυκείου →
Μονότονες συναρτήσεις – Αντίστροφη συνάρτηση · Γ΄ Λυκείου →
Η f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει f(x1) < f(x2).
Η f λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Δ όταν για x1 < x2 στο Δ ισχύει f(x1) > f(x2).
Η f με πεδίο A παρουσιάζει στο x0 ∈ A (ολικό) μέγιστο το f(x0) όταν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ A, και (ολικό) ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x0) για κάθε x ∈ A.
Η f: A → ℝ λέγεται 1–1 όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ A ισχύει: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Τοπικά ακρότατα συνάρτησης · Γ΄ Λυκείου →
Η f με πεδίο A παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 ∈ A όταν υπάρχει δ > 0 ώστε f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ). Ανάλογα το τοπικό ελάχιστο (f(x) ≥ f(x0)).
Κρίσιμα σημεία: τα εσωτερικά σημεία του Δ όπου η f′ μηδενίζεται ή δεν υπάρχει. Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι τα κρίσιμα σημεία και τα άκρα του Δ (όπου ανήκουν στο πεδίο).
Λυμένες ασκήσεις: Μονοτονία και ακρότατα
Παράμετρος ώστε η συνάρτηση να είναι περιττή
Από το μάθημα «Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
Υποδείξεις
- Περιττή ⇔ f(−x) = −f(x) για κάθε x.
- Οι άρτιες δυνάμεις πρέπει να «φύγουν».
Λύση και απάντηση
- f(−x) = −x³ + (λ − 4)x² − 3x.
- Για να ισούται με −f(x) πρέπει (λ − 4) = 0 ⇒ λ = 4.
Απάντηση: 4
Τοπικό ελάχιστο
Από το μάθημα «Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου» · Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου
Υποδείξεις
- f′(x) = 3x2 − 18x + 15.
- Ελάχιστο εκεί όπου η f′ αλλάζει από − σε +.
Λύση και απάντηση
- f′(x) = 3(x − 1)(x − 5).
- f′ < 0 στο (1, 5), f′ > 0 για x > 5.
- Τοπικό ελάχιστο: f(5) = −24.
Απάντηση: x₀ = 5 · f(x₀) = −24
Τοπικό μέγιστο κυβικής
Από το μάθημα «Τοπικά ακρότατα συνάρτησης» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου
Υποδείξεις
- f′(x) = 3x2 − 6x = 3(x )(x − 2).
- Μέγιστο εκεί όπου η f′ αλλάζει από + σε −.
Λύση και απάντηση
- f′ > 0 για x < 0, f′ < 0 στο (0, 2).
- Τοπικό μέγιστο στο x₀ = 0 με f(0) = 2.
Απάντηση: x₀ = 0 · f(x₀) = 2
Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις
Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα αν για x₁ < x₂ ισχύει:
- f(x₁) < f(x₂)
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≤ 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) < f(x₂). Αυξάνεται το x, αυξάνεται και η τιμή.
Περισσότερες: Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης (Α΄ Λυκείου)
Η f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για κάθε x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχύει:
- f(x₁) < f(x₂)
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≥ f(x₂)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) < f(x₂). Μεγαλύτερο x δίνει μεγαλύτερη τιμή.
Περισσότερες: Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες (Β΄ Λυκείου)
Το πεδίο ορισμού της f(x) = √(x − 2) είναι:
- (2, +∞)
- (−∞, 2]
- [2, +∞)
- ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: [2, +∞). Πρέπει x − 2 ≥ 0.
Περισσότερες: Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα (Γ΄ Λυκείου)
Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 20, μέγιστο εμβαδόν έχει αυτό με διαστάσεις:
- 1 × 9
- 2 × 8
- 4 × 6
- 5 × 5
Δες την απάντηση
Σωστό: 5 × 5. Ε = x(10 − x), μέγιστο στο x = 5.
Περισσότερες: Προβλήματα βελτιστοποίησης (Γ΄ Λυκείου)
Μια συνάρτηση λέγεται 1−1 όταν για x₁ ≠ x₂ ισχύει:
- f(x₁) + f(x₂) = 0
- f(x₁) = f(x₂)
- f(x₁) > f(x₂)
- f(x₁) ≠ f(x₂)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x₁) ≠ f(x₂). Ορισμός.
Περισσότερες: Μονότονες συναρτήσεις – Αντίστροφη συνάρτηση (Γ΄ Λυκείου)
Το θεώρημα Fermat λέει ότι αν η f έχει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο x₀ και είναι παραγωγίσιμη εκεί, τότε:
- f(x₀) = 0
- f′(x₀) = 0
- f′(x₀) > 0
- f″(x₀) = 0
Δες την απάντηση
Σωστό: f′(x₀) = 0. Αναγκαία συνθήκη.
Περισσότερες: Τοπικά ακρότατα συνάρτησης (Γ΄ Λυκείου)